SEJARAH DAN FILSAFAT MATEMATIKA
A. Sejarah Matematika
Menurut Berggren, JL, 2004, penemuan matematika pada jaman Mesopotamia dan Mesir
Kuno, didasarkan pada banyak dokumen asli yang masih ada ditulis oleh juru tulis. Meskipun
dokumen-dokumen yang berupa artefak tidak terlalu banyak, tetapi mereka dianggap mampu
mengungkapkan matematika pada jamantersebut. Artefak matematika yang ditemukan
menunjukkan bahwa bangsa Mesopotamia telah memiliki banyak pengetahuan matematika
yang luar biasa, meskipun matematika mereka masih primitif dan belum disusun secara
deduktif seperti sekarang. Matematika pada jaman Mesir Kuno dapat dipelajari dari artefak
yang ditemukan yang kemudian disebut sebagai Papyrus Rhind (diedit pertama kalinya pada
1877), telah memberikan gambaran bagaimana matematika di Mesir kuno telah berkembang
pesat. Artefak-artefak berkaitan dengan matematika yang ditemukan berkaitan dengan
daerah-daerah kerajaan seperti kerajaan Sumeria 3000 SM, Akkadia dan Babylonia rezim
(2000 SM), dan kerajaan Asyur (1000 SM), Persia (abad 6-4 SM), dan Yunani (abad ke 3 - 1
SM).
Pada jaman Yunani kuno paling tidak tercatat matematikawan penting yaitu Thales dan
Pythagoras. Thales dan Pythagoras mempelopori pemikiran dalam bidang Geometri, tetapi
Pythagoraslah yang memulai melakukan atau membuat bukti-bukti matematika. Sampai masa
pemerintahan Alexander Agung dari Yunani dan sesudahnya, telah tercatat Karya
monumental dari Euclides berupa karya buku yang berjudul Element (unsur-unsur) yang
merupakan buku Geometri pertama yang disusun secara deduksi.
Risalah penting dari periode awal matematika Islam banyak yang hilang, sehingga ada
pertanyaan yang belum terjawab masih banyak tentang hubungan antara matematika Islam
awal dan matematika dari Yunani dan India. Selain itu, jumlah jumlah dokumen yang relatif
sedikit menyebabkan kita mengalami kesulitan untuk menelusuri sejauh mana peran
matematikawan Islam dalam pengembangan matematika di Eropa selanjutnya. Tetapi yang
jelas, sumbangan matematikawan Islam cukup besar bersamaan dengan kebangkitan
pemikiran modern yang muncul himpunanelah jaman kegelapan sampai sekitar abad ke 15
himpunanelah masehi.
Penemuan alat cetak mencetak pada jaman modern, yaitu sekitar abad ke 16, telah
memungkinkan para matematikawan satu dengan yang lainnya melakukan komunikasi secara
lebih intensif, sehingga mampu menerbitkan karya-karya hebat. Hingga sampailah pada
jamannya Hilbert yang berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang
tunggal, lengkap dan konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan atau
ditemukan kesalahannya oleh muridnya sendiri yang bernama Godel yang menyatakan bahwa
tidaklah mungkin diciptakan matematika yang tunggal, lengkap dan konsisten. Persoalan
Geometri dan Aljabar kuno, dapat ditemukan di dokumen yang tersimpan di Berlin. Salah
satu persoalan tersebut misalnya memperkirakan panjang diagonal suatu persegi panjang.
Mereka menggunakanhubungan antara panjang sisi-sisi persegi panjang yang kemudian
mereka menemukan bentuk segitiga siku-siku. Hubungan antara sisi-sisi siku-siku ini
kemudian dikenal dengan nama Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras ini sebetulnya
telah digunakan lebih dari 1000 tahun sebelum ditemukan oleh Pythagoras.
Orang-orang Babilonia telah menemukan sistem bilangan sexagesimal yang kemudian
berguna untuk melakukan perhitungan berkaitan dengan ilmu-ilmu perbintangan. Para
astronom pada jaman Babilonia telah berusaha untuk memprediksi suatu kejadian dengan
mengaitkan dengan fenomena perbintangan, seperti gerhana bulan dan titik kritis dalam
siklus planet (konjungsi, oposisi, titik stasioner, dan visibilitas pertama dan terakhir). Mereka
menemukan teknik untuk menghitung posisi ini (dinyatakan dalam derajat lintang dan bujur,
diukur relatif terhadap jalur gerakan jelas tahunan Matahari) dengan berturut-turut
menambahkan istilah yang tepat dalam perkembangan aritmatika. Matematika di Mesir Kuno
disamping dikarenakan pengaruh dari Masopotamia dan Babilonia, tetapi juga dipengaruhi
oleh konteks Mesir yang mempunyai aliran sungai yang lebar dan panjang yang menghidupi
masyarakat Mesir dengan peradabannya. Persoalan hubungan kemasyarakatan muncul
dikarenakan kegiatan survive bangsa Mesir menghadapi keadaan alam yang dapat
menimbulkan konflik diantara mereka, misalnya bagaimana menentukan batas wilayah,
ladang atau sawah dipinggir sungai Nil himpunanelah banjir bandang terjadi yang
mengakibatkan tanah mereka tertimbun lumpur hingga beberapa meter. Dari salah satu kasus
inilah kemudian muncul gagasan atau ide tentang luas daerah, batas-batas dan bentuk-
bentuknya. Maka pada jaman Mesir Kuno, Geometri telah tumbuh pesat sebagai cabang
Matematika.
Dalam waktu relatif singkat (mungkin hanya satu abad atau kurang), metode yang
dikembangkan oleh orang Babilonia dan Masir Kuno telah sampai ke tangan orang-orang
Yunani. Misal, Hipparchus (2 abad SM) lebih menyukai pendekatan geometris pendahulu
Yunani, tetapi kemudian ia menggunakan metode dari Mesopotamia dan mengadopsi gaya
seksagesimal. Melalui orang-orang Yunani itu diteruskan ke para ilmuwan Arab pada abad
pertengahan dan dari situ ke Eropa, di mana itu tetap menonjol dalam matematika astronomi
selama Renaissance dan periode modern awal. Sampai hari ini tetap ada dalam penggunaan
menit dan detik untuk mengukur waktu dan sudut. Aspek dari matematika Babilonia yang
telah sampai ke Yunani telah meningkatkan kualitas kerja matematika dengan tidak hanya
percaya denganbentuk-bentuk fisiknya saja, melainan diperoleh kepercayaan melalui bukti-
bukti matematika. Prinsip-prinsip Teorema Pythagoras yang sudal dikenal sejak jaman
Babilonia yaitu sekitar seribu tahun sebelum jaman Yunani, mulai dibuktikan secara
matematis oleh Pythagoras pada jaman Yunani Kuno.
Pada jaman Yunani Kuno, selama periode dari sekitar 600 SM sampai 300 SM , yang dikenal
sebagai periode klasik matematika, matematika berubah dari fungsi praktis menjadi struktur
yang koheren pengetahuan deduktif. Perubahan fokus dari pemecahan masalah praktis ke
pengetahuan tentang kebenaran matematis umum dan perkembangan obyek teori mengubah
matematika ke dalam suatu disiplin ilmu. Orang Yunani menunjukkan kepedulian terhadap
struktur logis matematika. Para pengikut Pythagoras berusaha untuk menemukan secara pasti
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku. Tetapi mereka tidak dapat menemukan angka
yang tertentu dengan skala yang sama yang berlaku untuk semua sisi-sisi segitiga tersebut.
Hal inilah yang kemudian dikenal dengan persoalan Incommensurability, yaitu adanya skala
yang tidak sama agar diperoleh bilangan yang tertentu untuk sisi miringnya. Jika dipaksakan
digunakan skala yang sama (atau commensurabel) maka pada akhirnya mereka menemukan
bahwa panjang sisi miring bukanlah bilangan bulat melainkan bilangan irrasional.
Prestasi bangsa Yunani Kuno yang monumental adalah adanya karya Euclides tentang
Geometri Aksiomatis. Sumber utama untuk merekonstruksi pra-Euclidean buku karya
Euclides bernama Elemen (unsur-unsur), di mana sebagian besar isinya masih relevan dan digunakan hingga saat kini. Element terdiri dari 13 jilid. Buku I berkaitan dengan kongruensi
segitiga, sifat-sifat garis paralel, dan hubungan daerah dari segitiga dan jajaran genjang; Buku
II menetapkan kehimpunanaraan yang berhubungan dengan kotak, persegi panjang, dan
segitiga; Buku III berisi sifat-sifat Lingkaran; dan Buku IV berisi tentang poligon dalam
lingkaran. Sebagian besar isi dari Buku I-III adalah karya-karya Hippocrates, dan isi dari
Buku IV dapat dikaitkan dengan Pythagoras, sehingga dapat dipahami bahwa buku Elemen
ini memiliki sejarahnya hingga berabad-abad sebelumnya. Buku V menguraikan sebuah teori
umum proporsi, yaitu sebuah teori yang tidak memerlukan pembatasan untuk besaran
sepadan. Ini teori umum berasal dari Eudoxus. Berdasarkan teori, Buku VI menggambarkan
sifat bujursangkar dan generalisasi dari teori kongruensi pada Buku I. Buku VII-IX berisi
tentang apa yang oleh orang-orang Yunani disebut "aritmatika," teori bilangan bulat. Ini
mencakup sifat-sifat proporsi numerik, pembagi terbesar, kelipatan umum, dan bilangan
prima(Buku VII); proposisi pada progresi numerik dan persegi (Buku VIII), dan hasil khusus,
seperti faktorisasi bilangan prima yang unik ke dalam, keberadaan yang tidak terbatas jumlah
bilangan prima, dan pembentukan "sempurna" angka, yaitu angka-angka yang sama dengan
jumlah pembagi (Buku IX). Dalam beberapa bentuk, Buku VII berasal dari Theaetetus dan
Buku VIII dari Archytas. Buku X menyajikan teori garis irasional dan berasal dari karya
Theaetetus dan Eudoxus. Buku Xiberisi tentang bangun ruang; Buku XII membuktikan
theorems pada rasio lingkaran, rasio bola, dan volume piramida dan kerucut.
Warisan Matematika Yunani, terutama dalam geometri , sangat besar. Dari periode awal
orang-orang Yunani merumuskan tujuan matematika tidak dalam hal prosedur praktis tetapi
sebagai disiplin teoritis berkomitmen untuk mengembangkan proposisi umum dan
demonstrasi formal. Kisaran dan keragaman temuan mereka, terutama yang dari abad SM-3,
geometri telah menjadi materi pelajaran selama berabad-abad himpunanelah itu, meskipun
tradisi yang ditransmisikan ke Abad Pertengahan dan Renaissance tidak lengkap dan cacat.
Peningkatan pesat dari matematika di abad ke-17 didasarkan sebagian pada pembaharuan
terhadap matematika kuno dan matematika pada jaman Yunani. Mekanika dari Galileo dan
perhitungan-perhitungan yang dibuat Kepler dan Cavalieri, merupakan inspirasi langsung
bagi Archimedes. Studi tentang geometri yang dilakukan oleh Apollonius dan Pappus
dirangsang oleh pendekatan baru dalam geometri-misalnya, analitik yang dikembangkan oleh
Descartes dan teori proyektif dari Desargues Girard.
Kebangkitan matematika pada abad 17 sejalan dengan kebangkitan pemikiran para filsuf
sebagai anti tesis abad gelap dimana kebenaran didominasi oleh Gereja. Maka Copernicus
merupakan tokoh pendobrak yang menantang pandangan Gereja bahwa bumi sebagai pusat
jagat raya; dan sebagai gantinya dia mengutarakan ide bahwa bukanlah Bumi melainkan
Mataharilah yang merupakan pusat tata surya, sedangkan Bumi mengelilinginya. Jaman
kebangkitan ini kemudian dikenal sebagai Jaman Modern, yang ditandai dengan munculnya
tokoh-tokoh pemikir filsafat sekaligus matematikawan seperti Immanuel Kant, Rene
Descartes, David Hume, Galileo, Kepler, Cavalieri, dst.
B. Filsafat Matematika
Wilkins, DR, 2004, menjelaskan bahwa terdapat beberapa definisi tentang matematika yang
berbeda-beda. Ahli logika Whitehead menyatakan bahwa matematika dalam arti yang paling
luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya
bersifat deduktif. Boole berpendapat bahwa itu matematika adalah ide-ide tentang jumlah dan kuantitas. Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika merupakan contoh yang paling
cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil bisa memperoleh kesuksesannya dengan
bantuan pengalaman. Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematika
terbaik berasal dari pengalaman. Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya memiliki
teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah. Kaplansky menyatakan bahwa saat
yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti tapi di mana konsep baru
ditemukan. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena matematika adalah konsisten dan
iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan matematika konsistensi ini. Hilbert
menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur
yang tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam
matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah
kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep
baru.
Hempel, CG, 2001, menegaskan kembali apa yang telah dikemukakan oleh John Stuart Mill
bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti
astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal: materi pelajaran adalah lebih umum
daripada apapun lainnya dari penelitian ilmiah, dan proposisi yang telah diuji dan
dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan
astronomi atau fisika. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum matematika telah
dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar biasa bahwa kita telah
dibenarkan olh teorema matematika dalam bentuk kualitatif berbeda dari hipotesis baik dari
cabang lain.
Hempel, CG, 2001, lebih lanjut menyatakan bahwa sekali istilah primitif dan dalil-dalil yang
telah ditetapkan, seluruh teori sepenuhnya ditentukan. Dia menyimpulkan bahwa
himpunaniap istilah dari teori matematika adalah didefinisikan dalam hal primitif, dan
himpunaniap proposisi teori secara logis deducible dari postulat, adalah sepenuhnya tepat.
Perlu juga untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang digunakan dalam pembuktian
proposisi matematika. Ia mengakui bahwa prinsip-prinsip dapat dinyatakan secara eksplisit
ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil logika. Dengan menggabungkan analisis dari aspek
sistem Peano, Hempel menerima tesis dari logicism bahwa Matematika adalah cabang dari
logika karena semua konsep matematika, yaitu aritmatika, aljabar analisis, dan, dapat
didefinisikan dalam empat konsep dari logika murni, dan semua teorema matematika dapat
disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika. Bold, T., 2004, menyatakan
bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan,
penambahan, perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan pembagian terhubung
dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen
dari konsep-konsep matematika.
Bold, T., 2004, lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi
konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk
mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek.
Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu
motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran. Dia menambahkan bahwa elemen penting ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak
terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak terbatas bukan
kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas, yang merupakan
karakter dari kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep pecahan hanya
berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia, isu yang terlibat dengan bilangan
rasional dan irasional sama sekali tidak relevan untuk interpretasi konsep pecahan
sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting Arend. Sejauh berkenaan dengan konsep-
konsep matematika, bilangan rasional sebagai n / p dan bilangan irasional dengan p adalah
bilangan bulat, hanya masalah cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah
dalam matematika untuk dijelaskan dengan istilah matematika dan bahasa.
Di sisi lain, Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa konsep bilangan asli dikembangkan dari
operasi manusia dengan koleksi benda-benda kongkrit, namun tidak mungkin untuk
memverifikasi pernyataan seperti itu secara empiris dan konsep bilangan asli sudah yang
stabil tentang dan terlepas dari sumber yaitu sebenarnya. Hubungan kuantitatif dari
himpunanbenda-benda fisik dalam praktek manusia, dan mulai bekerja sebagai model
mandiri yang kokoh. Menurut dia, sistem bilangan asli adalah idealisasi hubungan-hubungan
kuantitatif; di mana orang memperolehnya dari pengalaman mereka dengan himpunan dan
ekstrapolasi aturan ke himpunan yang jauh lebih besar (jutaan hal) dan dengan demikian
situasi idealnya menjadi nyata. Dia menegaskan bahwa proses idealisasi berakhir kokoh,
tetap, dan mandiri , sementara bangun-bangun fisiknya berubah. Sementara konsep
matematika diperoleh dengancara melepaskan sebagian besar sifat-sifatnya kemudian untuk
memikirkan sebagian kecil sifat-sifat tertentunya saja. Hal demikian yang kemudian disebut
sebagai abstraksi. Sementara sifat-sifat yang tersisa yang memang harus dipelajari,
diasumsikan bahwa mereka mempunyai sifat yang sempurna; misal bahwa lurus adalah
sempurna lurus, lancip adalah sempurna lancip, demikian himpunanerusnya. Yang demikian
itulah yang kemudian dikenal sebagai idealisasi.
Peterson, I., 1998, menjelaskan bahwa pada awal abad ke-20, Jerman yang hebat matematika
David Hilbert (1862-1943) menganjurkan program yang ambisius untuk merumuskan suatu
sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar
aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika
dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. Hilbert menegaskan bahwa suatu sistem
formal dari aksioma dan aturan harus konsisten, yang berarti bahwa seseorang tidak dapat
membuktikan sebuah pernyataan dan kebalikannya pada saat yang sama, ia juga
menginginkan skema yang lengkap, artinya satu selalu dapat membuktikan pernyataan yang
diberikan bisa benar atau salah. Hilbert berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas
untuk memutuskan apakah suatu proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma, dengan
itu, diberikan sebuah sistem yang jelas dari aksioma dan aturan inferensi yang tepat, akan
lebih mungkin, meskipun tidak benar-benar praktis, untuk menjalankan melalui semua
proposisi mungkin, dimulai dengan urutan terpendek simbol, dan untuk memeriksa mana
yang valid. Pada prinsipnya, suatu prosedur keputusan secara otomatis akan menghasilkan
semua teorema mungkin dalam matematika. Di sisi lain, ia menjelaskan bahwa matematika formal didasarkan pada logika formal;
mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan himpunan; objek primitif
hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah himpunan kosong yang berisi apa-apa.
Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang pernah diselidiki dapat diturunkan
sebagai seperangkat aksioma teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah
dibangun dapat dibuat dengan asumsi tidak ada di luar yang aksioma. Itu juga menyatakan
bahwa jika tak terhingga merupakan potensi dan tidak pernah menjadi kenyataan selesai
maka himpunan terbatas tidak ada, karena itu, ahli matematika mencoba untuk
mendefinisikan struktur tak terbatas yang paling umum dibayangkan karena itu tampaknya
memberikan harapan paling baik, jika himpunan tidak terbatas ada maka akan menjadi
landasan matematika yang kokoh. Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa matematika harus
langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam semesta yang potensial tidak
terbatas, hal ini akan membatasi ekstensi untuk sebuah himpunan bilangan ordinal dan
himpunan yang dapat dibangun dari mereka. Obyek didefinisikan dalam suatu sistem
matematis yang formal tidak peduli apakah aksioma tak terhingga itu termasuk yang
dimasukkan, dan bahwa sistem formal dapat diartikan sebagai suatu program komputer untuk
menghasilkan teorema di mana program tersebut dapat menghasilkan semua nama-nama
benda atau himpunan yang didefinisikan dalam sistem tersebut. Selanjutnya, semua bilangan
kardinal yang lebih besar yang pernah didefinisikan dalam sistem matematika yang terbatas,
tidak akan dihitung dari dalam sistem tersebut.
Peterson, I., 1998, mencatat bahwa apa Hilbert berpendapat bahwa kita dapat memecahkan
masalah jika kita cukup pintar dan bekerja cukup lama, dan matematikawan Gregory J.
Chaitin dan Thomas J. Watson tidak percaya dengan prinsip bahwa ada batas untuk apa
matematika bisa dicapai. Namun, pada tahun 1930, Kurt Godel (1906-1978) membuktikan
bahwa tidak ada prosedur keputusan tersebut adalah mungkin untuk setiap sistem logika yang
terdiri dari aksioma dan proposisi cukup canggih untuk mencakup jenis masalah matematika
yang hebat yang bekerja pada setiap hari; ia menunjukkan bahwa jika kita asumsikan bahwa
sistem matematika konsisten, maka kita bisa menunjukkan bahwa itu tidak lengkap. Peterson
mengatakan bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya,
akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem.
Memang, matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan menunggu bukti dengan
jaminan bahwa jawaban tertentu telah pernah ada.
Chaitin membuktikan bahwa suatu prosedur tidak dapat menghasilkan hasil yang lebih
kompleks dari pada prosedur itu sendiri, dengan kata lain, dia membuat teori bahwa wanita
berbobot 1-pon tidak bisa melahirkan bayi berbobot 10-pon. Wanita berbobot 10 pon tidak
bisa melahirkan bayi 100 pon, dst. Sebaliknya, Chaitin juga menunjukkan bahwa tidak
mungkin membuat prosedur untuk membuktikan bahwa sejumlah kompleksitas bersifat acak,
maka, sejauh bahwa pikiran manusia adalah sejenis komputer, mungkin ada jenis
kompleksitas begitu mendalam dan halus yang akal kita tidak pernah bisa memahami nya;
urutan apapun yang mungkin terletak pada kedalaman akan dapat diakses, dan selalu akan
muncul untuk kita sebagai keacakan. Pada saat yang sama, membuktikan bahwa berurutan adalah acak juga dapat mengatasi kesulitan, tidak ada cara untuk memastikan bahwa kita
tidak diabaikan. Peterson, I., 1998, menyatakan bahwa hasil Chaitin ini menunjukkan bahwa
kita jauh lebih mungkin untuk menemukan keacakan dari ketertiban dalam domain
matematika tertentu; kompleksitas versin teorema Godel menyatakan bahwa meskipun
hampir semua bilangan adalah acak, tidak ada sistem formal aksiomatis yang akan
memungkinkan kita untuk membuktikan fakta ini.
Selanjutnya, Peterson, I., 1998, menyimpulkan bahwa pekerjaan Chaitin ini menunjukkan
bahwa ada jumlah tak terbatas pernyataan matematika di mana seseorang dapat membuat,
katakanlah, aritmatika yang tidak dapat direduksi menjadi aksioma aritmatika, jadi tidak ada
cara untuk membuktikan apakah pernyataan tersebut benar atau salah dengan menggunakan
aritmatika; dalam pandangan Chaitin ini, itu praktis sama dengan mengatakan bahwa struktur
aritmatika adalah acak. Chaitin menyimpulkan bahwa struktur matematika adalah fakta
matematis yang analog dengan hasil dari sebuah lemparan koin dan kita tidak pernah bisa
benar-benar membuktikan secara logis apakah itu adalah benar, ia menambahkan bahwa
dengan cara yang sama bahwa tidak mungkin untuk memprediksi saat yang tepat di mana
seorang individu yang terkena radiasi atom mengalami peluruhan radioaktif. Matematika tak
berdaya untuk menjawab pertanyaan tertentu, sedangkan fisikawan masih dapat membuat
prediksi yang dapat diandalkan tentang rata-rata lebih dari besar dari atom, ahli matematika
mungkin dalam beberapa kasus terbatas pada pendekatan yang sama; yang membuat
matematika jauh lebih dari ilmu pengetahuan eksperimental.
Hempel, CG, 2001, berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten,
bagaimanapun, mempunyai interpretasi yang berbeda dari istilah primitifnya, sedangkan satu
himpunan definisi dalam arti kata yang kaku menentukan arti dari definienda dengan cara
yang unik . Sistem yang lebih luas dari itu Peano postulat yang diperoleh masih belum
lengkap dalam arti bahwa tidak setiap bilangan memiliki akar kuadrat, dan lebih umum, tidak
setiap persamaan aljabar memiliki solusi dalam sistem; ini menunjukkan bahwa ekspansi
lebih lanjut dari sistem bilangan dengan pengenalan bilangan real dan akhirnya kompleks.
Hempel menyimpulkan bahwa pada dasar dari dalil operasi aritmatika dan aljabar berbagai
dapat didefinisikan untuk jumlah sistem baru, konsep fungsi, limit, turunan dan integral dapat
diperkenalkan, dan teorema berkaitan erat dengan konsep-konsep ini dapat dibuktikan,
sehingga akhirnya sistem besar matematika seperti di sini dibatasi bertumpu pada dasar yang
sempit dari sistem Peano itu; setiap konsep matematika dapat didefinisikan dengan
menggunakan tiga unsur primitif dari Peano, dan setiap proposisi matematika dapat
disimpulkan dari lima postulat yang diperkaya oleh definisi dari non-primitif tersebut,
langkah penyederhanaan, dalam banyak kasus, dengan cara tidak lebih dari prinsip-prinsip
logika formal; bukti beberapa theorems tentang bilangan real, bagaimanapun, memerlukan
satu asumsi yang biasanya tidak termasuk di antara yang terakhir dan ini adalah aksioma
yang disebut pilihan di mana ia menyatakan bahwa terdapat himpunan-himpunan saling
eksklusif, tidak ada yang kosong, ada setidaknya satu himpunan yang memiliki tepat satu
elemen yang sama dengan masing-masing himpunan yang diberikan.
Hempel, CG, 2001, menyatakan bahwa berdasarkan prinsip dan aturan logika formal, isi
semua matematika dapat diturunkan dari sistem sederhana Peano ini yaitu prestasi yang luar biasa dan sistematis, isi matematika dan penjelasan dasar-dasar yang validitas. Menurut dia,
sistem Peano memungkinkan interpretasi yang berbeda, sedangkan dalam sehari-hari maupun
dalam bahasa ilmiah, dapat dikembangkan untuk arti khusus untuk konsep aritmatika.
Hempel bersikeras bahwa jika karena itu matematika adalah menjadi teori yang benar dari
konsep-konsep matematika dalam arti yang dimaksudkan, tidak cukup untuk validasi untuk
menunjukkan bahwa seluruh sistem adalah diturunkan dari Peano mendalilkan kecocokan
definisi, melainkan, kita harus bertanya lebih jauh apakah postulat Peano sebenarnya benar
ketika unsur primitif dipahami dalam arti sekedar sebagai kebiasaan. Jika definisi di sini
ditandai secara hati-hati dan ditulis yaitu bahwa hal ini merupakan salah satu kasus di mana
teknik-teknik simbolik, atau matematika, dan logika membuktikan bahwa definiens dari
setiap satu dari mereka secara eksklusif mengandung istilah dari bidang logika murni.
Hempel, CG, 2001, menyatakan bahwa sistem mandiri yang stabil tentang prinsip dasar
adalah ciri khas dari teori matematika; model matematika dari beberapa proses alami atau
perangkat teknis pada dasarnya adalah sebuah model yang yang stabil tentang yang dapat
diselidiki secara independen dari "aslinya "dan, dengan demikian, kemiripan model dan" asli
"hanya menjadi terbatas, hanya model tersebut dapat diselidiki oleh matematikawan. Hempel
berpikir bahwa setiap upaya untuk menyempurnakan model yaitu untuk mengubah definisi
untuk mendapatkan kesamaan lebih dengan "asli", mengarah ke model baru yang harus tetap
stabil, untuk memungkinkan penyelidikan matematika, dengan itu, teori-teori matematika
adalah bagian dari ilmu kita yang bisa secara terus melakukannya jika kita bangun. Hempel
menyatakan bahwa model matematika tidak terikat dengan ke "aslian" sumbernya; akan
tetapi terlihat bahwa beberapa model dibangun dengan buruk, dalam arti korespondensi untuk
"aslian" sumber mereka, namun yang matematikawan investigasi berlangsung dengan sukses.
Menurut dia, sejak model matematis didefinisikan dengan tepat, "tidak perlu lagi " "keaslian"
nya sumber lagi. Satu dapat mengubah model atau memperoleh beberapa model baru tidak
hanya untuk kepentingan korespondensi dengan sumber "asli", tetapi juga untuk percobaan
belaka. Dengan cara ini orang dapat memperoleh berbagai model dengan mudah yang tidak
memiliki "sumber asli" nya, yaitu sebuah cabang matematika yang telah dikembangkan yang
tidak memiliki dan tidak dapat memiliki aplikasi untuk masalah yang nyata.
Hempel, CG, 2001, mencatat bahwa, dalam matematika, teorema dari teori apapun terdiri
dari dua bagian - premis dan kesimpulan, karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak
hanya dari himpunan aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu;
dan premis ini bukan perpanjangan dari sistemnya. Dia menyadari bahwa teori-teori
matematika yang terbuka untuk gagasan-gagasan baru, dengan demikian, di Kalkulus setelah
konsep kontinuitas terhubung maka berikut diperkenalkan: titik diskontinyu, kontinuitas,
kondisi Lipschitz, dll dan semua ini tidak bertentangan dengan tesis tentang karakter
aksioma, prinsip dan aturan inferensi, namun tidak memungkinkan "matematika bekerja"
dengan menganggap teori-teori matematika sebagai yang sesuatu tetap. Kemerling, G., 2002,
menjelaskan bahwa pada pergantian abad kedua puluh, filsuf mulai mencurahkan perhatian
terhadap dasar-dasar sistem logis dan matematis, karena dua ribuan tahun logika Aristotelian
tampak penjelasan yang lengkap dan final dari akal manusia, namun geometri Euclid juga
tampaknya aman, sampai Lobachevsky dan Riemann menunjukkan bahwa konsepsi alternatif tidak hanya mungkin tetapi berguna dalam banyak aplikasi. Dia menyatakan bahwa upaya-
upaya serupa untuk berpikir ulang struktur logika mulai akhir abad kesembilan belas di mana
John Stuart Mill mencoba untuk mengembangkan sebuah rekening komprehensif pemikiran
manusia yang difokuskan pada induktif daripada penalaran deduktif; bahkan penalaran
matematika, John Stuart Mill seharusnya, dapat didasarkan pada pengamatan empiris.
Kemerling summep up yang banyak filsuf dan matematikawan Namun, mengambil
pendekatan yang berbeda.
Ia menjelaskan bahwa Logika adalah studi tentang kebenaran yang diperlukan dan metode
sistematis untuk mengekspresikan dengan jelas dan rigourously menunjukkan kebenaran
tersebut; logicism adalah teori filsafat tentang status kebenaran matematika, yakni, bahwa
mereka secara logis diperlukan atau analitik. Disarankan bahwa untuk memahami logika
pertama-tama perlu untuk memahami perbedaan penting antara proposisi kontingen, yang
mungkin atau mungkin tidak benar, dan proposisi perlu, yang tidak bisa salah; logika adalah
bukti untuk membangun, yang memberikan kita konfirmasi yang dapat diandalkan kebenaran
proposisi terbukti. Logika dapat didefinisikan sebagai bersangkutan dengan metode untuk
penalaran. Sistem logical kemudian formalisations satu metode yang tepat dan kebenaran
logis adalah mereka dibuktikan dengan metode yang benar. Kebenaran-kebenaran
matematika karena itu kontingen, namun untuk logicism, kebenaran matematika adalah sama
dalam semua kemungkinan dunia, karena mereka tidak tergantung pada keberadaan
himpunan, hanya pada konsistensi anggapan bahwa himpunan yang dibutuhkan ada; sejak
benar dalam himpunaniap dunia yang mungkin, matematika harus logis diperlukan.
Shapiro, S., 2000, bersikeras bahwa, logika adalah cabang kedua matematika dan cabang
filsafat; bahasa formal, sistem deduktif, dan model-teori semantik adalah objek matematika
dan, dengan demikian, ahli logika yang tertarik pada mereka matematika sifat dan hubungan.
Menurut Shapiro, logika adalah studi tentang penalaran yang benar, dan penalaran
merupakan kegiatan, epistemis mental, dan karena itu menimbulkan pertanyaan mengenai
relevansi filosofis aspek matematis dari logika; bagaimana deducibility dan validitas, sebagai
properti bahasa formal, berhubungan dengan penalaran yang benar, apa hasil matematika
dilaporkan di bawah ini ada hubungannya dengan masalah filosofis asli. Beberapa filsuf
menyatakan bahwa kalimat deklaratif bahasa alam telah mendasari bentuk logis dan bahwa
bentuk-bentuk yang ditampilkan oleh formula bahasa formal. WVO Quine menyatakan
bahwa bahasa alam harus teratur, dibersihkan untuk pekerjaan ilmiah dan metafisik yang
serius, salah sesuatu yg diinginkan perusahaan adalah bahwa struktur logis dalam bahasa
diperintah harus transparan. Oleh karena itu, bahasa formal adalah model matematika dari
bahasa alami, sebuah bahasa formal menampilkan fitur tertentu dari bahasa alam, atau
idealisasi dari padanya, sementara mengabaikan atau menyederhanakan fitur lainnya. Shapiro
menyatakan bahwa tujuan dari model matematika adalah untuk menjelaskan apa yang mereka
model, tanpa mengklaim bahwa model tersebut akurat dalam semua hal atau bahwa model
harus mengganti apa itu model.
Kemerling, G. 2002, menjelaskan bahwa titik puncak dari pendekatan baru untuk logika
terletak pada kapasitasnya untuk menerangi sifat penalaran matematika, sedangkan kaum
idealis berusaha untuk mengungkapkan hubungan internal dari realitas absolut dan pragmatis ditawarkan untuk memperhitungkan manusia Permintaan sebagai pola longgar investigasi,
ahli logika baru berharap untuk menunjukkan bahwa hubungan paling signifikan antara dapat
dipahami sebagai murni formal dan eksternal. Kemerling mencatat bahwa matematikawan
seperti Richard Dedekind menyadari bahwa atas dasar ini dimungkinkan untuk membangun
matematika tegas dengan alasan logis, sedangkan Giuseppe Peano telah menunjukkan pada
1889 bahwa semua aritmatika dapat dikurangi ke sistem aksiomatis dengan hati-hati dibatasi
himpunan awal mendalilkan . Pada sisi lain, Frege segera berusaha untuk mengekspresikan
mendalilkan dalam notasi simbolik temuannya sendiri, dan dengan 1913, Russell dan
Whitehead telah menyelesaikanmonumental Principia Mathematica (1913), dengan tiga
volume besar untuk bergerak dari sebuah aksioma logis saja melalui definisi nomor bukti
bahwa "1 + 1 = 2." Kemerling menyatakan bahwa meskipun karya Gödel dibuat menghapus
keterbatasan dari pendekatan ini, signifikansi bagi pemahaman kita tentang logika dan
matematika tetap undimmed.
Pietroski, P., 2002, bersikeras yang menarik bagi bentuk logis muncul dalam konteks upaya
untuk mengatakan lebih banyak tentang perbedaan antara kesimpulan intuitif sempurna, yang
mengundang metafora keamanan dan kedekatan, dan kesimpulan yang melibatkan risiko
tergelincir dari kebenaran kepalsuan . Dia menyatakan bahwa pemikiran kuno adalah bahwa
kesimpulan tanpa cela menunjukkan pola yang dapat dicirikan oleh skema abstrak dari isi
tertentu dari tempat tertentu dan kesimpulan, dengan demikian mengungkapkan bentuk
umum bersama banyak kesimpulan sempurna lainnya; bentuk seperti, bersama dengan
kesimpulan bahwa contoh mereka, dikatakan valid. Pietroski diuraikan kesimpulan Stoik
mencerminkan bentuk abstrak: jika pertama kemudian yang kedua, dan yang pertama, maka
yang kedua. Oleh karena itu, Stoik dirumuskan yaitu skemata lain yang valid. Jika pertama
kemudian yang kedua, tetapi tidak yang kedua, jadi bukan yang pertama; Entah pertama atau
kedua, tetapi tidak yang kedua, jadi yang pertama, dan tidak baik yang pertama dan kedua,
tapi yang pertama, sehingga tidak yang kedua .
Pietroski, P., 2002, menyatakan bahwa formulasi skema logis memerlukan variabel dalam
proposisi; proposisi adalah istilah seni untuk apapun variabel di atas direpresentasikan dalam
berbagai berani lebih dan dengan demikian merupakan hal-hal yang bisa benar atau salah,
sebab mereka adalah tempat potensial / yaitu kesimpulan. hal yang bisa mencari dalam
kesimpulan yang valid. Dia mengatakan bahwa kesimpulan dapat menjadi proses mental
dimana pemikir menarik kesimpulan dari beberapa tempat, atau proposisi pemikir akan
menerima mungkin sementara atau hipotetis jika dia menerima lokasi dan kesimpulan,
dengan satu proposisi ditunjuk sebagai konsekuensi dugaan orang lain. Dia mencatat bahwa
tidak jelas bahwa semua kesimpulan sempurna adalah contoh dari beberapa bentuk yang
valid, dan dengan demikian kesimpulan yang impeccability adalah
karena bentuk proposisi-proposisi yang relevan, tetapi pikiran ini menjabat sebagai ideal
untuk studi inferensi, himpunanidaknya sejak pengobatan Aristoteles tentang contoh seperti.
Menurut dia, Aristoteles membahas berbagai kesimpulan tertentu, yang disebut silogisme,
yaitu melibatkan quantificational proposisi. ditunjukkan dengan kata-kata seperti "setiap 'dan'
beberapa”. '.
Pietroski, P., 2002, menggunakan terminologi yang sedikit berbeda bahwa teoretikus lain
memperlakukan semua elemen umum sebagai predikat, dan proposisi dengan struktur
tertentu dan dikatakan memiliki bentuk kategoris sebagai berikut: subyek-kata kerja
penghubung-predikat, dimana sebuah kata kerja penghubung, ditunjukkan dengan kata-kata
seperti 'adalah' atau 'adalah', link subjek yang terdiri dari pembilang dan predikat untuk
predikat, tetapi dengan merumuskan berbagai schemata inferensi Aristotelian, dengan analisis
proposisi kompleks, infererences sempurna banyak yang terungkap sebagai kasus bentuk
silogisme valid. Pietroski menyatakan bahwa para ahli logika abad pertengahan membahas
hubungan logika untuk tata bahasa, ia membedakan bahwa bahasa yang diucapkan harus
menutupi aspek-aspek tertentu dari struktur logis dan memiliki struktur; mereka terdiri,
dengan cara yang sistematis, dari kata-kata; dan asumsi adalah bahwa kalimat mencerminkan
aspek utama bentuk logis, termasuk subjek-predikat struktur. Dia mengakui bahwa menjelang
akhir abad kedelapan belas, Kant bisa mengatakan tanpa berlebihan bahwa banyak logika
mengikuti jalur tunggal sejak awal, dan bahwa sejak Aristoteles itu tidak harus menelusuri
kembali satu langkah. Menurut dia, Kant mengatakan bahwa logika silogisme adalah untuk
semua tampilan lengkap dan sempurna.
Hanya ada tiga istilah dalam silogisme, karena kedua istilah dalam kesimpulan sudah dalam
premisnya, dan satu istilah umum bagi kedua premisnya. Ini mengarah pada definisi berikut:
predikat dalam kesimpulan disebut suku utama, subjek dalam kesimpulan disebut suku kecil;
istilah umum disebut term tengah, sedangkan premis yang mengandung istilah utama disebut
premis utama; dan premis yang mengandung istilah minor disebut premis minor. Silogisme
selalu ditulis premis mayor, premis minor, kesimpulan, melainkan terbatas pada argumen
silogisme, dan tidak bisa menjelaskan kesimpulan umum yang melibatkan beberapa argumen.
Hubungan dan identitas harus diperlakukan sebagai hubungan subjek-predikat, yang
membuat pernyataan identitas matematika sulit untuk ditangani, dan tentu saja istilah tunggal
dan proposisi tunggal.
Pietroski, P., 2002, menjelaskan bahwa dengan demikian, orang mungkin menduga bahwa
ada relatif sedikit disimpulkan pola dasar, beberapa kesimpulan bisa mencerminkan transisi
inheren menarik dalam pikiran; jelas bahwa para ahli logika berhak untuk mengambil aturan
inferensi dari B 'jika A , dan A, maka B 'sebagai sesuatu yang aksiomatis, dan namun, berapa
banyak aturan yang masuk akal dianggap sebagai fundamental dalam pengertian ini? Dia
berpendapat bahwa keanggunan teoritis dan teori-teori yang mendukung penjelasan
mendalam dengan asumsi tereduksi sedikit, dan geometri Euclid telah lama menyediakan
model untuk bagaimana menyajikan obyek pengetahuan sebagai jaringan proposisi yang
mengikuti dari aksioma dasar beberapa, dan untuk beberapa alasan, dasar pertanyaan
memainkan peran penting dalam logika abad kesembilan belas dan matematika. Pietroski
mengambil karya Boole dan lain-lain untuk menunjukkan bahwa kemajuan dalam hal ini
adalah mungkin sehubungan dengan kesimpulan logika yang melibatkan variabel
proposisional; namun silogisme tetap tidak dapat disatukan dan tidak lengkap, yang
berhubungan dengan alasan lain dari gagalnya logika tradisional / tata bahasa. Dalam pengembangan matematika modern, notasi Frege dirancang pertama yang cocok
untuk membangun matematika formal. Notasi yang lebih presisi memungkinkan Russell
untuk menemukan kelemahan dalam penalaran yang mereka dukung, yang dikenal sebagai
paradoks Russell. Hal ini pada gilirannya mendorong perkembangan lebih lanjut dalam
pemahaman kita tentang teori formal, khususnya, mereka menghasilkan axiomatization teori
himpunan yang didukung oleh intuisi semantik yang merupakan iteratif konsepsi yang
ditetapkan. Hal utama dari metode analisis logis formal adalah penggunaan model
matematika untuk menjabarkan arti dari konsep yang dipertimbangkan; ini membawa unsur
semantik ke latar depan dan mendorong pengakuan bahwa ketika kita ingin menggunakan
bahasa secara tepat kita harus memilih arti yang tepat pula, dengan menganggap bahwa
makna yang tepat yang bisa didapatkan dari preseden, dapat dilakukan.
Pada sisi lain, Kemerling, G., 2002, menyatakan bahwa William Hamilton menyarankan
bahwa kuantifikasi predikat terkandung dalam proposisi kategoris tradisional mungkin
mengizinkan interpretasi aljabar yang isinya merupakan pernyataan eksplisit dari identitas;
pandangan ini didorong Augustus De Morgan yang mengusulkan ekspresi simbolis dari
kopula sebagai hubungan logis murni, yang resmi mendapatkan fitur dalam konteks yang
berbeda banyak. Dia mencatat bahwa Teorema De Morgan sama baiknya untuk himpunan
irisan, himpunan gabungan, dan dalam logika dan disjungsi, De Morgan juga menjelajahi
gagasan Laplace probabilitas sebagai derajat keyakinan rasional yang bisa jatuh antara
kepastian sempurna dari kebenaran atau kepalsuan. Selanjutnya, Kemerling menjelaskan
bahwa George Boole menyelesaikan transformasi ini dengan secara eksplisit dan menafsirkan
logika kategoris dengan referensi himpunan dari hal-hal dimana logis / himpunan-teoritis /
matematika relasi terus di antara kelas tersebut dapat dinyatakan setidaknya juga dalam
"aljabar Boolean". Kemerling mencatat bahwa Leonhard Euler, dan John Venn menunjukkan,
hubungan ini dapat direpresentasikan dalam diagram topografi, model fitur validitas yang
formal;dan semua perkembangan ini mendorong para filsuf untuk memeriksa isomorfisma
logika dan matematika lebih dekat.
Ia menjelaskan bahwa logika tradisional adalah istilah yang longgar untuk tradisi logis yang
berasal dari Aristoteles dan banyak berubah sampai munculnya logika predikat modern di
akhir abad kesembilan belas, dan asumsi mendasar dalam logika tradisional adalah bahwa
proposisi terdiri dari dua istilah dan bahwa proses penalaran pada gilirannya dibangun dari
proposisi; istilah adalah bagian dari mewakili sesuatu, tetapi yang tidak benar atau salah
dalam dirinya sendiri; proposisi terdiri dari dua istilah, di mana satu istilah ditegaskan dan
yang lainnya kebenaran atau kepalsuan; silogisme adalah kesimpulan yang salah satu
proposisi berikut kebutuhan dari dua orang lain. Dalam logika , "proposisi" hanyalah sebuah
bentuk bahasa: jenis kalimat tertentu, dalam subjek dan predikat digabungkan, sehingga
untuk menyatakan sesuatu benar atau salah, itu bukan pikiran, atau entitas yang abstrak atau
apapun; kata "propositio" berasal dari bahasa Latin, yang berarti premis pertama dari
silogisme. Aristoteles menggunakan premis kata (protasis) sebagai kalimat yang menegaskan
atau menyangkal satu hal lain sehingga premis juga merupakan bentuk kata-kata. Namun,
dalam logika filsafat modern, sekarang berarti apa yang ditegaskan sebagai hasil dari
mengucapkan kalimat, dan dianggap sebagai sesuatu yang aneh mental atau disengaja. Kualitas proposisi adalah apakah itu positif atau negatif. Dengan demikian "setiap orang
adalah fana" adalah ya, karena "fana" ditegaskan dari "manusia"; "Tidak ada pria abadi"
adalah negatif, karena "abadi ditolak dari" manusia ", sedangkan, kuantitas proposisi adalah
apakah itu universal atau tertentu.
Logika Aristoteles, juga dikenal sebagai silogisme, adalah jenis tertentu dari logika yang
dibuat oleh Aristoteles, terutama dalam karya-karyanya Sebelum Analytics dan De
Interpretatione, tetapi kemudian dikembangkan menjadi apa yang dikenal sebagai logika
tradisional atau Logika Jangka. Aristoteles membuat 4 macam kalimat terukur, masing-
masing yang mengandung subjek dan predikat: afirmatif yang universal yaitu S setiap P;
yaitu negatif yang universal tidak S adalah P; yaitu afirmatif tertentu beberapa S adalah P,
dan negatif tertentu tidak setiap S adalah P. Ada berbagai cara untuk menggabungkan kalimat
tersebut ke dalam silogisme, keduanya valid dan tidak valid; di zaman abad pertengahan,
logika Aristotelian diklasifikasikan setiap kemungkinan dan memberi mereka nama.
Aristoteles juga mengakui bahwa setiap jenis memiliki kalimat, misalnya, kebenaran
universal yang memerlukan sebuah afirmatif kebenaran afirmatif tertentu yang sesuai, serta
kesalahan negatif yang sesuai negatif dan tertentu universal.
Moschovakis, J., 2002, bersikeras bahwa logika intuitionistic meliputi prinsip-prinsip
penalaran logis yang digunakan oleh LEJ Brouwer dalam mengembangkan matematika
intuitionistic nya, secara filosofis, intuitionism berbeda dari logicism dengan memperlakukan
logika sebagai bagian dari matematika bukan sebagai dasar dari matematika ; dari finitism
dengan memungkinkan penalaran tentang koleksi tak terbatas, dan dari Platonisme dengan
melihat objek matematika sebagai konstruksi mental yang tanpa keberadaan yang ideal
independen. Moschovakis menyatakan bahwa program formalis Hilbert, untuk membenarkan
matematika klasik dengan mengurangi ke sistem formal yang konsistensi harus ditetapkan
dengan cara finitistic, adalah saingan kontemporer paling ampuh untuk intuitionism Brouwer
's berkembang. Pada tahun 1912 Intuitionism dan Formalisme Brouwer dengan tepat
memprediksikan bahwa setiap upaya untuk membuktikan konsistensi induksi lengkap tentang
bilangan alam akan mengakibatkan lingkaran setan.
Banyak filsuf telah mengambil matematika menjadi paradigma pengetahuan, dan penalaran
yang digunakan dalam mengikuti bukti matematika sering dianggap sebagai lambang
pemikiran rasional, namun matematika juga merupakan sumber yang kaya masalah filosofis
yang menjadi pusat epistemologi dan metafisika sejak awal filsafat Barat; di antara yang
paling penting adalah sebagai berikut: bilangan nol dan entitas matematika lainnya ada secara
independen dari kognisi manusia; Jika tidak maka bagaimana kita menjelaskan penerapan
matematika yang luar biasa bagi ilmu pengetahuan dan urusan praktis?? Jika demikian maka
apa hal yang mereka dan bagaimana kita bisa tahu tentang mereka;? Dan Apa hubungan
antara matematika dan logika? (. Filsafat Matematika, http://Googlesearch) Pertanyaan
pertama adalah pertanyaan metafisik dengan kedekatan dekat dengan pertanyaan tentang
keberadaan entitas lain seperti universal, sifat dan nilai-nilai, sesuai dengan banyak filsuf,
jika entitas tersebut ada maka mereka sehingga di luar ruang dan waktu, dan mereka tidak
memiliki kekuatan kausal, mereka sering disebut abstrak dibandingkan dengan entitas beton. Jika kita menerima keberadaan objek matematika abstrak maka epistemologi yang memadai
matematika harus menjelaskan bagaimana kita bisa tahu tentang mereka, tentu saja, bukti
tampaknya menjadi sumber utama pembenaran bagi proposisi matematika tetapi bukti
bergantung pada aksioma dan pertanyaan tentang bagaimana kita bisa tahu kebenaran dari
aksioma tetap. Hal ini biasanya berpikir bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran yang
diperlukan, bagaimana kemudian apakah mungkin bagi terbatas, makhluk fisik yang
mendiami dunia yang kontingen memiliki pengetahuan tentang kebenaran tersebut? Dua
pandangan yang luas secara baik yaitu mungkin kebenaran matematika dikenal dengan
alasan, atau mereka dikenal oleh inferensi dari pengalaman sensorik. Pandangan rasionalis
mantan diadopsi oleh Descartes dan Leibniz yang juga berpikir bahwa konsep-konsep
matematika adalah bawaan, sedangkan Locke dan Hume himpunanuju bahwa kebenaran
matematika dikenal oleh akal tapi mereka pikir semua konsep-konsep matematika yang
diperoleh abstraksi dari pengalaman; dan Mill adalah seorang empiris lengkap tentang
matematika dan memegang kedua bahwa konsep-konsep matematika berasal dari
pengalaman dan juga bahwa kebenaran matematika adalah benar-benar generalisasi induktif
dari pengalaman. Sementara itu, penemuan pada pertengahan abad kesembilan belas non-
Euclidean geometri berarti bahwa filsuf dipaksa untuk menilai kembali status geometri
Euclidean yang sebelumnya telah dianggap sebagai contoh Shinning pengetahuan tertentu di
dunia, banyak mengambil keberadaan non konsisten -Euclidean geometri menjadi
penentangan secara langsung dari kedua Mill dan filsafat Kant tentang matematika. Pada
akhir abad kesembilan belas penyanyi telah ditemukan berbagai paradoks dalam teori kelas
dan ada sesuatu krisis dalam dasar matematika.
Pada awal abad kedua puluh kita melihat kemajuan besar dalam matematika dan juga dalam
logika matematika dan dasar matematika dan sebagian besar isu-isu fundamental dalam
filsafat matematika dapat diakses oleh siapa saja yang akrab dengan geometri dan aritmatika
dan yang telah memiliki pengalaman mengikuti matematika bukti. Namun, beberapa
perkembangan filosofis paling penting dari abad kedua puluh itu dipicu oleh perkembangan
yang mendalam yang terjadi dalam matematika dan logika, dan apresiasi yang tepat dari
masalah ini hanya tersedia bagi seseorang yang memiliki pemahaman tentang teori himpunan
dasar dan menengah logika. Untuk membahas falsafah matematika pada tingkat lanjutan yang
benar-benar harus memeriksa gagasan yang mencakup bukti dari teorema ketidaklengkapan
Gödel 's serta membaca tentang berbagai topik dalam filsafat matematika. Nikulin, D., 2004,
menjelaskan bahwa para ilmuwan kuno dan filsuf yang mengikuti program Platonis-
Pythagoras, dirasakan bahwa matematika dan metode yang dapat digunakan untuk
menggambarkan alam. Menurut Plato, matematika dapat memberikan pengetahuan tentang
engsel yang tidak bisa sebaliknya dan karena itu tidak ada hubungannya dengan hal-hal fisik
pernah lancar, tentang yang hanya ada pendapat yang mungkin benar. Nikulin menyatakan
bahwa Platonis hati-hati membedakan antara aritmetika dan geometri dalam matematika itu
sendiri, sebuah rekonstruksi teori Plotinus 'dari nomor, yang mencakup pembagian Plato an
dari angka ke substansial dan kuantitatif, menunjukkan bahwa angka yang terstruktur dan
dipahami bertentangan dengan entitas geometris. Secara khusus, angka ini dibentuk sebagai kesatuan sintetis terpisahkan, unit diskrit, sedangkan objek geometris yang terus menerus dan
tidak terdiri dari bagian tak terpisahkan.
Nikulin, D., 2004, menemukan bahwa Platonis dianggap bahwa obyek matematika dianggap
entitas intermediate antara hal-hal fisik (obyek) dan niskala, hanya masuk akal, entitas
(pengertian). Menurut dia, dalam tradisi Platonis, kecerdasan, dilihat dari kategori kehidupan,
mampu hamil prinsip pertama; ditafsirkan sebagai dan aktualitas murni, intelek selanjutnya
disajikan melalui perbedaan antara pikiran sebagai berpikir dan berpikir sebagai masuk akal ,
sebagai objek pemikiran yang ada dalam komunikasi terganggu; pada pemikiran,
bertentangan diskursif, pada dasarnya terlibat dalam argumentasi matematis dan logis, tidak
lengkap dan hanya parsial. terus menerus dan tidak terdiri dari bagian tak terpisahkan.
Nikulin menunjukkan bahwa untuk Platonis alasan diskursif melakukan kegiatannya di
sejumlah langkah berurutan dilakukan, karena, tidak seperti intelek, tidak mampu mewakili
obyek pemikiran secara keseluruhan dan kompleksitas yang unik dan dengan demikian harus
memahami bagian objek dengan sebagian, dalam urutan tertentu. Sementara, Folkerts, M.,
2004, menunjukkan bahwa Platonis percaya bahwa realitas abstrak adalah kenyataan. Dengan
demikian, mereka tidak memiliki masalah dengan kebenaran karena objek di bagian ideal
matematika memiliki sifat. Sebaliknya Platonis memiliki masalah epistemologis - seseorang
dapat memiliki pengetahuan tentang objek di bagian ideal matematika, mereka tidak dapat
menimpa pada indera kita dengan cara apapun.
Ini mungkin bahwa selama bagian tengah abad ini ada didirikan untuk sementara waktu
penasaran stand-off; saat ini baik logicism dan Formalisme ditahan telah gagal, hasil
ketidaklengkapan Gödel 's telah ikut berperan dalam kedua kasus, tapi intuitionism tetap utuh
, maka secara filosofis intuitionism menjadi hal utama. Hebat matematika di sisi lain,
sepanjang mereka menganggap hal ini, mungkin tetap fomalist atau logicist dalam
kecenderungan, dalam paruh kedua tekanan pada abad ini paradigma klasik telah berkembang
dari beberapa sumber. Untuk perbedaan pendapat para filsuf telah ditambahkan perbedaan
pendapat dari ahli matematika yang telah menemukan kesalahan dengan teori himpunan
klasik sebagai sebuah yayasan, atau yang meragukan perlunya memiliki dasar sama sekali;
ilmu komputer semakin teoritis telah memasuki arena ini, dan telah cenderung pengaruh
radikal. (-----, 1997, Kategori Teori dan Dasar-dasar Matematika RBJ,
http://www.rbjones.com/rbjpub/rbj.htm)
Istilah "dasar atau landasan matematika" kadang-kadang digunakan untuk bidang tertentu
dari matematika itu sendiri, yaitu untuk logika matematika, teori himpunan aksiomatik, teori
bukti dan teori model; pencarian dasar matematika Adalah juga pertanyaan sentral dari
filosofi matematika: atas dasar apa dapat laporan utama matematika disebut "benar"?
Paradigma matematika saat ini dominan didasarkan pada teori himpunan aksiomatik dan
logika formal; semua teorema matematika hari ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori
disusun; kebenaran pernyataan matematika, dalam pandangan ini, kemudian apa-apa kecuali
klaim bahwa pernyataan itu dapat berasal dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan
logika formal. Namun, pendekatan formalistik tidak menjelaskan beberapa isu seperti mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan orang lain, mengapa
kita harus menggunakan aturan logika yang kita lakukan dan bukan lainnya, mengapa
"benar" pernyataan matematika tampaknya benar dalam dunia fisik; dimana Wigner disebut
ini sebagai efektivitas yang tidak masuk akal matematika dalam ilmu fisika. -----, 1997,
Dasar-dasar matematika Wikipedia, ensiklopedia bebas.
http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_FDL.
Kita mungkin mempertanyakan apakah mungkin bahwa semua pernyataan matematika,
bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma-aksioma teori mengatur, apalagi, sebagai
konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan Gödel kedua, kita tidak pernah bisa yakin bahwa
ini tidak terjadi. Selanjutnya, ia menjelaskan bahwa dalam realisme matematika, kadang-
kadang disebut Platonisme, keberadaan dunia objek matematika independen dari manusia ini
mendalilkan; kebenaran tentang obyek ditemukan oleh manusia, dalam pandangan ini, hukum
alam dan hukum-hukum matematika memiliki status yang sama, dan "efektivitas" berhenti
menjadi "masuk akal" dan tidak aksioma kita, tetapi dunia yang sangat nyata dari objek
matematika membentuk yayasan. Ia menjelaskan bahwa pertanyaan yang jelas, kemudian,
adalah: bagaimana kita mengakses dunia ini, beberapa teori modern dalam filsafat
matematika menyangkal keberadaan yayasan dalam arti asli; beberapa teori cenderung
berfokus pada praktek matematika, dan bertujuan untuk? menggambarkan dan menganalisis
kerja aktual yang hebat matematika sebagai kelompok sosial, sedangkan, yang lain mencoba
untuk menciptakan ilmu pengetahuan kognitif matematika, dengan fokus pada kognisi
manusia sebagai asal dari keandalan matematika ketika diterapkan pada 'dunia nyata', dan
karena itu, ini teori akan mengusulkan untuk menemukan dasar hanya dalam pemikiran
manusia, tidak dalam 'tujuan' di luar konstruk. Singkatnya, masalah ini masih kontroversial.
(-----, 1997, Dasar-dasar matematika Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_FDL)
Podnieks, K, 1992, berpendapat apakah matematika hanya sebuah ilmu pengetahuan abstrak
dengan definisi yang ketat yang hanya masalah pembuktian dan kejam, atau tentang dunia
fisik tapi kita harus belajar bagaimana menggunakan teori yang tepat tentang apa yang kita
rasakan di yang kita perlu teori intuisi untuk memungkinkan kita untuk menjaga bagian
infinitary matematika. Ia menunjukkan bahwa dalam matematika, ini, diakui bahwa masalah
timbul karena kejelasan un-yang hebat matematika memiliki sekitar hubungan antara metode
geometris dan metode numerik; metode geometris yang memungkinkan sangat kecil terlalu
tidak tepat dan ini menyebabkan pengenalan aritmatika teknik untuk mempelajari analisis
sangat kecil untuk memberikan kekakuan yang kembali ke ide-ide Pythagoras. Sementara
Kalderon, ME, 2004, menyatakan bahwa untuk mengembalikan "standar Euclidean lama
kekakuan" dengan memberikan bukti jelas klaim aritmatika yang memenuhi dua kondisi
bahwa asumsi himpunaniap eksplisit dinyatakan, dan himpunaniap transisi inferensial adalah
sesuai dengan aturan mengakui . Dia mengatakan bahwa dorongan baru dari kekakuan dalam
geometri dan analisis yang telah menuai berbuah dengan mengungkapkan "batas berlaku"
theorems penting, dengan membuat eksplisit prinsip-prinsip dapat disimpulkan bahwa secara
implisit memandu penilaian kita kita dapat sampai pada metode umum pembentukan konsep
yang dapat membantu kita untuk memecahkan pertanyaan matematika terbuka. Kalderon mengklaim bahwa dengan mengurangi jumlah penilaian yang diterima tanpa bukti kita
mencapai ekonomi teoritis yang berharga, bahkan jika kebenaran adalah jelas masih
merupakan muka matematis untuk membuktikannya.
Kalderon, ME, 2004, berpendapat apakah titik proyek Frege untuk membuktikan yang sudah
jelas atau tidak, apa adalah status epistemologis kebenaran matematika;? Mereka analitik
apriori, sintetik apriori, atau sintetik aposteriori;? Dan bagaimana adalah angka yang
diberikan kepada kami; bagaimana media Kant sensibilitas dan menengah Frege nalar?
Menurut dia, keputusan matematika adalah analitik hanya dalam kasus konsep subjek berisi
konsep predikat, dan penilaian matematika adalah analitik hanya dalam kasus penolakan
adalah kontradiksi-diri. Menurut Kalderon, Kant menganggap konsep sebagai melibatkan
check list fitur, konsep empiris adalah konsep macam hal encounterable dalam pengalaman
mana untuk menjadi jenis yang relevan dari hal adalah memiliki fitur secara empiris dapat
diamati, F1, F2, ..., Fn, yang secara logis independen, karena itu, penghakiman adalah
analitik hanya dalam kasus daftar fitur yang berhubungan dengan konsep predikat adalah
bagian dari daftar fitur yang berhubungan dengan konsep subjek. Kalderon mencatat bahwa
Kant menulis seolah-olah konsep selalu konsep khusus encounterable; ia tidak membuat
tunjangan untuk konsep relasional atau untuk konsep hal yang tidak teramati dan fitur pada
daftar tersebut yang seharusnya secara logis independen, tetapi tidak semua konsep empiris
sesuai pola ini dan tidak semua konsep memiliki daftar fitur.
Kant, 1787, berpendapat bahwa matematika adalah produk murni alasan, dan terlebih lagi
adalah benar-benar kimis, ia menemukan bahwa semua kognisi matematika memiliki
keganjilan ini dan pertama kali harus menunjukkan konsep dalam intuisi visual dan memang
apriori, oleh karena itu dalam intuisi yang tidak empiris, tetapi murni; tanpa ini, matematika
tidak dapat mengambil satu langkah, oleh karena keputusan-keputusannya selalu visual,
yaitu, intuitif;. sedangkan filsafat harus puas dengan penilaian diskursif dari konsep-konsep
belaka, dan meskipun mungkin menggambarkan doktrin-doktrinnya melalui sosok visual,
tidak pernah dapat memperoleh mereka dari itu. Di sisi lain, Kant mengklaim bahwa intuisi
empiris memungkinkan kita tanpa kesulitan untuk memperbesar konsep yang kita bingkai
dari suatu obyek dari intuisi, dengan predikat baru, yang intuisi itu sendiri menyajikan secara
sintetis dalam pengalaman, sedangkan intuisi murni melakukannya juga, hanya dengan
perbedaan ini , bahwa dalam kasus terakhir penghakiman kimis adalah apriori tertentu dan
apodeictical, dalam, mantan hanya posteriori dan empiris tertentu; karena yang terakhir ini
hanya berisi apa yang terjadi pada intuisi empiris kontingen, tetapi yang pertama, yang tentu
harus ditemukan dalam intuisi murni. Menurut Kant, karena intuisi adalah suatu representasi
sebagai segera tergantung pada keberadaan objek, tampaknya tidak mungkin untuk intuisi
dari awal apriori, karena intuisi akan dalam acara yang berlangsung tanpa baik mantan atau
benda hadir untuk merujuk untuk, dan oleh konsekuensi tidak bisa intuisi.
Selanjutnya, Kant, 1787, berpendapat bahwa intuisi matematika murni yang meletakkan pada
dasar dari semua kognisi dan penilaian yang muncul sekaligus apodiktis dan diperlukan
adalah Ruang dan Waktu, karena matematika harus terlebih dahulu memiliki semua konsep dalam intuisi, dan matematika murni intuisi murni, maka, matematika harus membangun
mereka. Menurut Kant, Geometri didasarkan pada intuisi murni ruang, dan, aritmatika
menyelesaikan konsep angka dengan penambahan berurutan dari unit dalam waktu; dan
mekanik murni terutama tidak dapat mencapai konsep gerak tanpa menggunakan representasi
waktu. Kant menyimpulkan bahwa matematika murni, sebagai kognisi kimis apriori, hanya
mungkin dengan mengacu ada benda selain yang indra, di mana, di dasar intuisi empiris
mereka terletak sebuah intuisi murni (ruang dan waktu) yang apriori. Kant menggambarkan
bahwa dalam prosedur biasa dan perlu geometers, semua bukti kesesuaian lengkap dari dua
angka yang diberikan akhirnya datang ini bahwa mereka mungkin dibuat bertepatan; yang
ternyata tidak lain proposisi kimis beristirahat pada intuisi langsung, dan intuisi ini harus
murni, atau diberikan secara apriori, jika proposisi tidak dapat peringkat sebagai apodictically
tertentu, tetapi akan memiliki kepastian empiris saja. Kant selanjutnya menyimpulkan bahwa
dasar matematika sebenarnya intuisi murni, sedangkan deduksi transendental tentang konsep-
konsep ruang dan waktu menjelaskan, pada saat yang sama, kemungkinan matematika murni.
Kant, 1787, menyatakan bahwa penilaian Matematika semua kimis dan ia berpendapat bahwa
fakta ini tampaknya sampai sekarang telah sama sekali lolos dari pengamatan mereka yang
telah dianalisis akal manusia; bahkan tampaknya langsung menentang semua dugaan mereka,
meskipun tak diragukan tertentu, dan yang paling penting dalam konsekuensinya. Lebih
lanjut ia menyatakan bahwa untuk saat ditemukan bahwa kesimpulan yang hebat matematika
semua berjalan sesuai hukum kontradiksi seperti yang dituntut oleh semua kepastian
apodiktis, pria meyakinkan dirinya sendiri bahwa prinsip-prinsip dasar yang dikenal dari
hukum yang sama. "Ini adalah kesalahan besar", katanya. Dia kemudian menyampaikan
alasan bahwa untuk proposisi sintetis memang bisa dipahami menurut hukum kontradiksi,
tetapi hanya dengan mengandaikan lain proposisi sintetis dari yang berikut, tetapi tidak
pernah dalam dirinya sendiri. Kant mengemukakan bahwa semua prinsip-prinsip geometri
tidak kurang analitis, ia mengklaim bahwa atribut sesak karena itu sama sekali tambahan, dan
tidak dapat diperoleh oleh himpunaniap analisis konsep, dan visualisasi yang harus datang
untuk membantu kita, dan oleh karena itu saja membuat sintesis mungkin. Kant berusaha
untuk menunjukkan bahwa dalam kasus proposisi identik, sebagai metode Rangkaian, dan
bukan sebagai prinsip, e. g., a = a, keseluruhan adalah sama dengan dirinya, atau a + b> a,
keseluruhan lebih besar dari bagiannya dan menyatakan bahwa meskipun mereka diakui
sebagai sah dari konsep-konsep belaka, mereka hanya diperkenankan dalam matematika,
karena mereka dapat direpresentasikan dalam bentuk visual.
Kalderon, ME, 2004, terpapar bahwa penilaian analitik adalah mereka yang menyangkal
adalah kontradiksi-diri, dan karakterisasi ini adalah hanya sebagai baik sebagai logika dasar,
tetapi Kant masih menerima logika lama yang diwarisi dari Aristoteles. Selanjutnya,
Kalderon mengklaim bahwa karakterisasi penahanan konseptual hanya berlaku untuk
penilaian afirmatif universal, yaitu, penilaian dari bentuk "Semua Sebagaimana B.", Dan
karakterisasi logis memiliki jangkauan yang lebih luas penerapannya karena tidak terbatas
pada afirmatif yang universal penilaian. Kalderon berpendapat bahwa reconstrual Frege dari
gagasan Kant tentang analyticity sekaligus menyelesaikan kesulitan dan menyatukan
karakterisasi yang berbeda; kebenaran adalah analitik hanya dalam kasus itu bisa diubah menjadi sebuah kebenaran logis oleh substitusi sinonim untuk sinonim, sementara kebenaran
logis adalah kebenaran yang dapat dibuktikan dari logika saja. Kalderon mengklaim bahwa
penolakan sebuah kebenaran logis adalah kontradiksi-diri, sehingga karakterisasi Frege
adalah himpunania dengan semangat karakterisasi logis; bahwa kebenaran logis tiba di
melalui substitusi sinonim untuk sinonim explicates metafora Kant penahanan konseptual.
Kalderon lebih lanjut menegaskan bahwa sedangkan Kant mengklaim bahwa penilaian
analitik tidak bisa memperpanjang klaim Frege pengetahuan yang mereka bisa; menurut
Frege, perbedaan ini disebabkan konsepsi miskin Kant tentang pembentukan konsep
diberikan kehimpunaniaan kepada logika lama.
Kalderon, ME, 2004, bersikeras bahwa konsep-konsep baru yang didapat dengan operasi
persimpangan dan inklusi, dan diberikan logika tua, membentuk konsep baru selalu masalah
pemanfaatan batas-batas wilayah yang ditetapkan oleh konsep antecedently diberikan; dan
Frege mempertahankan bahwa, mengingat logika barunya, ada kemungkinan menggambar
batas-batas baru. Namun, mendefinisikan konsep-konsep baru dengan cara ini lisensi kita
untuk menarik kesimpulan bahwa kami tidak berlisensi untuk menarik sebelumnya, sehingga
memperluas pengetahuan kita. Kalderon menyatakan bahwa S kebenaran apriori hanya jika
terdapat bukti dari S yang tidak bergantung pada fakta-fakta dasar tentang objek tertentu,
yaitu, kalau-kalau terdapat himpunanidaknya satu bukti S yang hanya melibatkan kebenaran
umum sebagai tempat. Menurut Kalderon, Frege tampaknya telah memberikan karakterisasi
logis dari apa yang sebelumnya telah ditafsirkan sebagai gagasan epistemologis; Frege
dirasakan bahwa pengetahuan aposteriori tergantung pada pengalaman untuk pembenaran,
dan itu hanya informatif jika pengalaman dapat ditentukan secara independen dari peran
normatif . Kalderon mengklaim bahwa dasar matematika adalah terutama karya matematika
meskipun karakter informal. Dia mencatat bahwa Frege hanya menjawab pertanyaan filosofis
konfigurasi ulang oleh mereka untuk memiliki jawaban matematika, dan motivasi
matematika Frege yang tidak asli menurut standar akhir matematika abad ke-19 dan mungkin
kebenaran adalah suatu tempat di antara.
Kalderon, ME, 2004, menyatakan bahwa aritmetika adalah analitik apriori; menjadi analitik,
kebenaran aritmatika harus ditransformasikan ke dalam kebenaran logis oleh substitusi
sinonim untuk sinonim, dan untuk bersikap apriori, kebenaran aritmatika harus memiliki
himpunanidaknya satu bukti dari tempat murni umum. Kalderon menyatakan bahwa Frege
harus melaksanakan proyek matematika untuk menentukan apa aritmatika sejauh dapat
dibuktikan dari logika dan definisi saja. Di sisi lain, dalam kaitannya dengan motivasi
matematika, Kalderon bersikeras bahwa menemukan bukti mana bukti tersedia selalu
kemajuan matematika bahkan jika batas-batas keabsahan teorema benar-benar jelas dan
teorema secara universal dianggap sebagai jelas. Menurut Kalderon, dalam mengungkap
dependensi logis antara pemikiran ilmu hitung, satu secara eksplisit mengartikulasikan
konten mereka sehingga memperjelas materi pelajaran aritmatika; untuk dibenarkan dalam
pendapat matematika seseorang adalah untuk membawa mereka sejalan dengan urutan
ketergantungan objektivitas antara pemikiran ilmu hitung diungkapkan oleh bukti matematis,
karena itu, menemukan bukti mana bukti yang tersedia adalah kemajuan matematika sejauh
pembenaran pendapat matematika tergantung di atasnya, yang pertama tergantung pada klaim filosofis tentang konten, yang kedua tergantung pada klaim filosofis tentang pembenaran.
Selanjutnya, Kalderon, ME, 2004, berpendapat bahwa kasus Frege untuk klaim bahwa
aritmatika adalah analitik apriori memiliki tiga komponen yang merupakan argumen positif
tunggal, sanggahan alternatif yang masih ada, yakni argumen terhadap Kant, dan definisi dan
sketsa bukti Frege kasus di mana hanya akan selesai ketika definisi dan sketsa bukti secara
formal dilaksanakan dalam bahasa Begriffsschrift. Menurut Frege, kebenaran aritmatika
mengatur semua yang dpt dihitung, ini adalah domain terluas dari semua, karena untuk itu
milik tidak hanya yang sebenarnya, tidak hanya intuitable, tapi masuk akal semuanya.
Brouwer kemudian mengembangkan teori himpunan dan teori pengukuran serta teori fungsi,
tanpa menggunakan prinsip dikecualikan tengah, ia adalah yang pertama untuk membangun
sebuah teori matematika menggunakan logika selain yang biasanya diterima.
(Http://home.mira.net/ ~ andy / karya / value.htm). Jadi, dia dikenal sebagai intuinists yang
mengusulkan falsafah matematika tanpa dasar, sedangkan Kant sort untuk aritmatika dasar
dalam pengalaman waktu dan geometri dalam pengalaman ruang, Brouwer mencoba untuk
memperhitungkan semua matematika dalam hal intuisi yaitu sadar pengalaman waktu.
Intuitionism bentrok dengan matematika klasik sejauh Brouwer menyatakan bahwa tidak ada
kebenaran di luar pengalaman, dan karenanya bahwa hukum tengah dikecualikan tidak dapat
diterapkan pada semua pernyataan matematika yaitu di bagian infinitary tertentu matematika
adalah tak tentu berkaitan dengan beberapa sifat .
Bridges, D., 1997, menunjukkan bahwa dalam filsafat Brouwer 's, matematika adalah ciptaan
bebas dari pikiran manusia, dan objek ada jika dan hanya jika dapat dibangun mental.
Podnieks, K., 1992, menunjukkan bahwa Hilbert pada tahun 1891 berhasil memproduksi
terus menerus, namun tidak satu-ke-satu, pemetaan dari suatu segmen ke persegi panjang,
dan disimpan gagasan dimensi dengan membuktikan bahwa Dedekind yang tepat yang terus
menerus satu ke-satu korespondensi antara kontinum dari dimensionalities berbeda adalah
mustahil. Podnieks, K., 1992, terkena pekerjaan Brouwer dari rangkaian hipotesa yang
disebut, di mana dengan berbagai terbatas himpunan poin penyanyi menetapkan bahwa
semua terbatas himpunan dia bisa menghasilkan, terbagi dalam dua kategori: himpunan dpt
dihitung yaitu himpunan yang bisa dihitung dengan menggunakan bilangan asli dan
himpunan yang himpunanara dengan seluruh kontinum yaitu himpunan semua bilangan real.
Menurut Podnieks, penyanyi sendiri tidak dapat menghasilkan himpunan "kekuatan
menengah", himpunan terhitung yaitu titik yang tidak himpunanara dengan seluruh kontinum,
inilah mengapa ia menduga bahwa himpunan tersebut tidak ada dan dugaan ini dikenal
sebagai kontinum hipotesis menurut Brouwer yang himpunaniap rangkaian tak terbatas poin
baik adalah terhitung, atau himpunanara dengan seluruh kontinum.
Podnieks, K., 1992, bersikeras bahwa intuitionism memeluk dua teori filosofis penting yaitu
Ajaran Brouwer yang benar adalah menjadi berpengalaman, apapun ada berawal pada pikiran
sadar kita. Menurut Brouwer, obyek matematika bersifat abstrak, apriori, bentuk intuisi kita,
Dia percaya bahwa pikiran hanya adalah miliknya sendiri, dan kurang peduli dengan antar-
subjektivitas dari Immanuel Kant. Brouwer menolak klaim intuisi apriori ruang, melainkan ia
berpikir matematika didasarkan sepenuhnya pada intuisi apriori waktu. Menurut Posy, Brouwer percaya bahwa struktur panduan waktu semua kegiatan sadar dan keberadaan non-
Euclidean geometri melarang intuisi yang satu apriori ruang. Posy menjelaskan bahwa
Brouwer harus merekonstruksi bagian-bagian tertentu dari matematika diberikan kendala
sendiri. Program positif intuitionism adalah konstruksi matematika sebagai dibatasi oleh
Teori Brouwer 's Kesadaran. Program negatif intuitionism berpendapat bahwa matematika
standar sebenarnya salah atau paling tidak konsisten. Brouwer tidak berpendapat bahwa
matematika standar tidak konsisten; argumennya didasarkan pada idealisme epistemologis
nya. Brouwer membuat sedikit perbedaan antara Hilbert dan Platonis. Beberapa konstruksi
Brouwer 's tergantung pada asumsi bahwa jika proposisi adalah benar, kita bisa mengetahui
bahwa itu benar.
Godel, K., 1961, menyatakan bahwa matematika, berdasarkan sifatnya sebagai sebuah ilmu
apriori, selalu telah, dalam dan dari dirinya sendiri dan, untuk alasan ini, telah lama bertahan
semangat dari waktu yang telah memerintah sejak yaitu Renaissance, teori empiris
matematika; matematika telah berkembang menjadi abstraksi yang lebih tinggi, jauh dari
kejelasan materi dan untuk semakin besar di fondasinya misalnya, dengan memberikan
landasan yang tepat dari kalkulus dan bilangan kompleks, dan dengan demikian, jauh dari
sikap skeptis. Namun, sekitar pergantian abad, jam nya disambar antinomi teori himpunan,
kontradiksi yang diduga muncul dalam matematika, yang penting itu dibesar-besarkan oleh
scepticist dan empirisis dan yang dipekerjakan sebagai alasan untuk pergolakan ke kiri.
Godel menyatakan bahwa, himpunanelah semua, apa kepentingan matematika adalah apa
yang dapat dilakukan, dalam kebenaran, matematika menjadi ilmu empiris, jika kita
membuktikan dari aksioma sewenang-wenang mendalilkan bahwa himpunaniap bilangan asli
adalah jumlah dari empat kotak, tidak di semua mengikuti dengan pasti bahwa kita tidak akan
pernah menemukan counter-contoh untuk teorema ini, karena aksioma kami bisa
himpunanelah semua menjadi tidak konsisten, dan kita dapat mengatakan bahwa itu berikut
dengan probabilitas tertentu, karena meskipun pemotongan banyak kontradiksi sejauh ini
ditemukan. Menurut Godel, melalui konsepsi hipotetis matematika, banyak pertanyaan yang
kehilangan bentuk apakah proposisi A terus atau tidak atau A atau ~ A.
Godel, K., 1961, berpendapat bahwa formalisme Hilbert mewakili baik dengan semangat
waktu dan hakekat matematika di mana, di satu sisi, sesuai dengan ide-ide yang berlaku
dalam filsafat dewasa ini, kebenaran dari aksioma dari mana matematika mulai keluar tidak
dapat dibenarkan atau diakui dengan cara apapun, dan karena itu gambar konsekuensi dari
mereka memiliki makna hanya dalam pengertian hipotesis, dimana ini gambar dari
konsekuensi itu sendiri ditafsirkan sebagai permainan belaka dengan simbol menurut aturan
tertentu, juga tidak didukung oleh wawasan. Lebih lanjut, Godel mengklaim bahwa bukti atas
kebenaran suatu proposisi sebagai representability dari himpunaniap nomor sebagai jumlah
dari empat kotak harus memberikan landasan yang aman untuk proposisi bahwa bahwa
himpunaniap ya-atau-tidak tepat dirumuskan pertanyaan dalam matematika harus memiliki
jelas -memotong jawaban yaitu satu bertujuan untuk membuktikan bahwa dari dua kalimat A
dan ~ A, tepat satu selalu dapat diturunkan. Godel mengklaim bahwa tidak keduanya dapat
diturunkan merupakan konsistensi, dan yang satu selalu bisa benar-benar diturunkan berarti
bahwa pertanyaan matematika diungkapkan oleh A dapat tegas menjawab. Godel menyarankan bahwa jika seseorang ingin membenarkan dua pernyataan dengan kepastian
matematika, bagian tertentu dari matematika harus diakui sebagai benar dalam arti filosofi
kanan tua.
Godel, K., 1961, bersikeras bahwa jika kita membatasi diri dengan teori bilangan asli, adalah
mustahil untuk menemukan sistem aksioma dan aturan formal di mana untuk himpunaniap
proposisi nomor-teori A, A atau ~~~V A akan selalu diturunkan, dan untuk aksioma cukup
komprehensif matematika, tidak mungkin untuk melaksanakan bukti konsistensi hanya
dengan merefleksikan kombinasi beton simbol, tanpa memperkenalkan elemen yang lebih
abstrak. Godel mengklaim bahwa kombinasi Hilbertian materialisme dan aspek matematika
klasik terbukti mustahil. Godel mempertahankan bahwa hanya ada dua kemungkinan baik
menyerah aspek kanan lama matematika atau upaya untuk menegakkan mereka dalam
kontradiksi dengan semangat zaman, ia kemudian menyatakan bahwa:
Satu hanya menyerah aspek yang akan pemenuhan dalam hal apapun sangat diinginkan dan
yang memiliki banyak untuk merekomendasikan diri mereka: yaitu, di satu sisi, untuk
menjaga untuk matematika kepastian pengetahuan, dan di sisi lain, untuk menegakkan
keyakinan bahwa untuk pertanyaan yang jelas yang ditimbulkan oleh alasan, alasan juga
dapat menemukan jawaban yang jelas. Dan seperti yang perlu dicatat, salah satu menyerah
aspek-aspek ini bukan karena hasil matematika dicapai memaksa seseorang untuk
melakukannya tetapi karena itu adalah satu-satunya cara mungkin, meskipun hasil ini, untuk
tetap sesuai dengan filosofi yang berlaku.
Godel, K., 1961, menegaskan bahwa kepastian matematika adalah harus diamankan tidak
dengan membuktikan sifat tertentu dengan proyeksi ke sistem bahan yaitu manipulasi simbol-
simbol fisik melainkan dengan mengembangkan atau memperdalam pengetahuan tentang
konsep-konsep abstrak sendiri yang mengarah pada pengaturan dari sistem mekanik, dan
selanjutnya dengan mencari, sesuai dengan prosedur yang sama, untuk memperoleh wawasan
solvabilitas, dan metode aktual untuk solusi, dari semua masalah matematika yang bermakna.
Namun, Godel bersikeras bahwa untuk memperluas pengetahuan kita tentang konsep-konsep
abstrak, yaitu untuk membuat konsep-konsep diri yang tepat dan untuk mendapatkan
wawasan yang komprehensif dan aman ke dalam hubungan mendasar yang hidup di antara
mereka, yaitu, ke dalam aksioma yang terus bagi mereka, tidak oleh mencoba memberikan
definisi eksplisit untuk konsep dan bukti untuk aksioma, karena untuk satu yang jelas perlu
lainnya un-didefinisikan konsep-konsep abstrak dan aksioma induk mereka, jika tidak orang
akan memiliki apa-apa dari mana orang bisa mendefinisikan atau membuktikan. Godel
mengklaim bahwa prosedur itu harus terletak dalam klarifikasi makna yang tidak terdiri
dalam memberikan definisi, ia menyatakan bahwa dalam pembentukan sistematis dari
aksioma matematika, aksioma baru menjadi jelas dan sama sekali tidak dikecualikan oleh
hasil negatif yang tetap himpunaniap jelas diajukan matematika ya atau ada pertanyaan
dipecahkan dengan cara ini, karena hanya ini menjadi jelas aksioma lebih dan lebih baru atas
dasar arti dari pengertian primitif bahwa mesin tidak dapat meniru.
Irvine, AD, 2003, menjelaskan bahwa logicism pertama kali dianjurkan pada abad ketujuh
belas-an oleh Gottfried Leibniz. Kemudian, ide itu dipertahankan secara lebih rinci oleh Frege Gottlob. Irnine menunjukkan bahwa selama gerakan kritis dimulai pada 1820-an, ahli
matematika seperti Bernard Bolzano, Niels Abel, Louis Cauchy dan Karl Weierstrass berhasil
menghilangkan banyak ketidakjelasan dan banyak kontradiksi yang ada dalam teori
matematika dari hari mereka, dan oleh 1800-an, William Hamilton juga memperkenalkan
pasangan teratur dari real sebagai langkah pertama dalam memasok secara logis untuk nomor
kompleks. Irvine menunjukkan bahwa dalam banyak semangat yang sama, Karl Weierstrass,
Richard Dedekind dan Georg Cantor memiliki juga semua metode dikembangkan untuk
mendirikan irrationals dalam hal rationals, dan menggunakan karya HG Grassmann dan
Richard Dedekind, Guiseppe Peano telah kemudian pergi untuk mengembangkan teori
rationals berdasarkan axioms sekarang terkenal dengan alam nomor, serta demi hari Frege,
secara umum diakui bahwa sebagian besar matematika bisa diturunkan dari satu himpunan
yang relatif kecil dari gagasan primitif.
Logicism adalah doktrin bahwa Matematika adalah direduksi ke Logic. Tradisi analitik
modern dimulai dengan karya Frege dan Russell untuk keduanya matematika adalah
perhatian sentral. Sebagai logicists menyatakan bahwa pernyataan matematis, jika mereka
benar sama sekali, adalah benar tentu, maka prinsip-prinsip logika juga biasanya dianggap
kebenaran yang diperlukan, mungkin maka kebenaran matematika yang benar-benar
kebenaran logis hanya rumit. Logicism adalah nama yang diberikan untuk program penelitian
yang diprakarsai oleh Frege dan dikembangkan oleh Russell dan Whitehead tujuan yang
adalah untuk menunjukkan bagaimana matematika direduksi menjadi logika. Frege mencoba
untuk memberikan matematika dengan dasar yang logis suara, sayangnya Russel menemukan
bahwa sistem Frege tidak konsisten; karya terkenal Russell pada teori jenis merupakan upaya
untuk menghindari paradoks yang menimpa versi Frege dari logicism. (Filosofi Matematika,
http://Googlesearch.). Moschovakis, JR, 1999, mengatakan bahwa logika intuitionistic
meliputi prinsip-prinsip penalaran logis yang digunakan oleh LEJ Brouwer; filosofis,
intuitionism berbeda dari logicism dengan memperlakukan logika sebagai bagian dari
matematika bukan sebagai dasar dari matematika, dari finitism dengan memungkinkan (
konstruktif) penalaran tentang koleksi tak terbatas, dan dari Platonisme dengan melihat objek
matematika sebagai konstruksi mental yang tanpa keberadaan yang ideal independen.
Moschovakis menyatakan bahwa program formalis Hilbert, untuk membenarkan matematika
klasik dengan mengurangi ke sistem formal yang konsistensi harus ditetapkan dengan cara
finitistic, adalah saingan kontemporer paling ampuh untuk intuitionism Brouwer 's
berkembang; ia menolak formalisme semata tetapi mengakui kegunaan potensi merumuskan
umum prinsip-prinsip logis mengekspresikan konstruksi intuitionistically benar, seperti
modus ponens. Moschovakis menunjukkan bahwa sistem formal untuk logika proposisional
dan predikat intuitionistic tersebut dikembangkan oleh Heyting [1930], Gentzen [1935] dan
Kleene [1952]; dan terjemahan Gödel-Gentzen negatif ditafsirkan logika predikat klasik
dalam subsistem intuitionistic nya. Dalam [1965] Kripke memberikan semantik terhadap
yang logika predikat intuitionistic selesai.
Podnieks, K., 1992, mencatat bahwa menurut intuitionists, persamaan yang melibatkan
operator numerik dasar seperti, terkait dengan empat kegiatan: menghasilkan angka, melihat
dua dari mereka bersama-sama, dan mengenali mereka sama dengan ketiga, dan intuitionism standar Brouwer 's hanya membatasi kita untuk apa yang finitary dan menurut teori
intuisionis, reductio ad absurdum bukti tidak diijinkan untuk membuktikan bahwa sesuatu itu
ada meskipun mereka diterima untuk hasil negatif. Brouwer melihat bahwa himpunan
algoritma dihitung adalah enumerable yaitu memiliki jumlah kardinal 0, sehingga kita tidak
bisa membatasi angka nyata untuk himpunan ini, karena kemudian akan tidak memiliki sifat
bahwa real terhitung miliki. Posy menunjukkan bahwa solusi Brouwer adalah generalisasi
dari konsep algoritma atau aturan untuk memberikan jumlah tak terhitung algoritma untuk
memberikan apa yang dibutuhkan untuk real itu adalah gagasan tentang urutan pilihan.
Brouwer umum algoritma dengan melonggarkan persyaratan bahwa algoritma menjadi
deterministik dan hasilnya adalah urutan di mana elemen berurutan dapat dipilih dari
sekumpulan kandidat. Menurut Brouwer, urutan pilihan diberikan oleh aturan deterministik
untuk memberikan beberapa elemen pertama, dan aturan tidak-selalu-deterministik untuk
memilih elemen berikutnya. Posy bertanya-tanya apakah mereka adalah sama dan bertemu
dengan bilangan real yang sama, dia mengatakan bahwa dia tidak dan tidak dapat mengetahui
hal ini. Dengan demikian, menyebabkan kesimpulan bahwa beberapa pertanyaan penting
tentang urutan pilihan tidak dijawab dalam jumlah waktu yang terbatas dan dengan demikian,
tidak ada kebenaran tentang pertanyaan tentang kehimpunanaraan akhir dan kita bahkan tidak
tahu apakah kita akan tahu menjawab dalam jumlah waktu yang terbatas. Posy
menyimpulkan bahwa Brouwer harus himpunan ulang teori bertepatan dengan konstruksi
yang lain di mana di bawah versinya menetapkan teori, perbedaan antara unsur satu
himpunan dan himpunan sendiri kurang terdefinisi dengan baik.
Dalam hal geometri, Posy, C., 1992, menunjukkan bahwa Brouwer merasakan bahwa sifat
ruang dianggap murni geometris dapat dinyatakan temporal sekali kita mengakui bahwa apa
yang menjadi ciri struktur waktu adalah bahwa masa depan masih ragu-ragu. Menurut Posy,
Brouwer percaya bahwa bagian-bagian yang ideal matematika terdiri dari objek yang
sebenarnya diciptakan dalam pikiran. Di sisi lain, Brouwer mengakui bahwa ada masalah
dengan urutan pilihan karena fakta bahwa sejumlah nyata diciptakan oleh tindakan pilihan
tampaknya tidak tepat yang diperlukan tindakan manusia yang Brouwer tidak merasa itu
harus dimasukkan dalam matematika . Namun, Brouwer telah memperkenalkan metode
subjek menciptakan untuk menghasilkan bilangan real yang menyebabkan dia menjadi
seorang matematikawan ideal, ia toke B, dan membagi penelitian ke tahap di mana pada
himpunaniap tahap ada masalah matematika yang belum terpecahkan sebagai: (n) = ½ jika
pada tahap n, B belum terbukti atau membantah masalah yang belum terpecahkan, (n) = jika
pada tahap n, B telah memecahkan masalah. Brouwer mengatakan bahwa proses ini
membentuk urutan yang adalah bilangan real dan tidak ada tindakan pilihan, namun ada
prosedur otomatis, menangkap efek yang sama dengan urutan pilihan, tanpa memanfaatkan
tindakan non-matematika pilihan. Posy disimpulkan bahwa metode ini tidak akan bekerja jika
masalah belum terpecahkan diselesaikan, sehingga, agar metode subyek menciptakan
menjadi metode yang dapat diterima, harus ada pasokan yang tak habis-habisnya masalah
matematika yang tak terpecahkan. Brouwer percaya hal ini benar, namun Hilbert mengatakan
bahwa tidak akan ada masalah yang tak terpecahkan pada prinsipnya, dimana Brouwer jelas
bertentangan dengan pandangannya. Menurut teori formalis, kita memiliki konsepsi sangat masuk akal pengetahuan objek dalam
matematika nyata; sehubungan dengan matematika yang ideal, kita dapat memperoleh
konsepsi dari objek melalui penggunaan sistem formal. Namun, kebenaran hanya bisa untuk
bagian nyata dari matematika, tidak ada hal-hal sesuai dengan keyakinan kita di bagian yang
ideal. Hal ini menghasilkan teori dualistik kebenaran - beberapa pemikiran yang benar
melalui teori, hibrida buatan, sementara yang lain adalah benar melalui cara-cara normal
(Folkerts, M., 2004). Formalisme terutama terkait dengan David Hilbert yang sering dicirikan
sebagai pandangan bahwa logika dan matematika adalah permainan yang formal belaka dan
memiliki legitimasi yang independen dari isi semantik dari formalisme, asalkan kita dapat
diyakinkan dari konsistensi sistem formal. Program Hilbert untuk menyelesaikan paradoks
adalah untuk mencari bukti konsistensi finitary untuk seluruh matematika klasik, ini biasanya
diadakan untuk telah ditunjukkan mungkin oleh teorema ketidaklengkapan kedua Gödel,
bagaimanapun unsur ketidakpastian tentang apa yang dimaksud dengan finitary membuat ini
tidak mutlak konklusif. -----, 1997, Kategori Teori dan Dasar-dasar Matematika, RBJ,
http://www.rbjones.com/rbjpub/rbj.htm.
Sementara itu, Folkerts, M., 2004, menunjukkan bahwa pada tahun 1920 Hilbert mengajukan
proposal yang paling rinci untuk menetapkan validitas matematika; menurut teori bukti,
semuanya akan dimasukkan ke dalam bentuk aksioma, memungkinkan aturan inferensi
menjadi hanya logika dasar, dan hanya mereka kesimpulan yang bisa dicapai dari himpunan
berhingga dari aksioma dan aturan inferensi itu harus diterima. Dia mengusulkan bahwa
sebuah sistem yang memuaskan akan menjadi salah satu yang konsisten, lengkap, dan
decidable; oleh Hilbert konsisten berarti bahwa itu harus mungkin untuk menurunkan kedua
pernyataan dan negasinya; dengan lengkap, bahwa himpunaniap pernyataan yang ditulis
dengan benar harus sedemikian rupa bahwa baik itu atau negasinya adalah diturunkan dari
aksioma; oleh decidable, bahwa seseorang harus memiliki algoritma yang menentukan dari
himpunaniap pernyataan yang diberikan apakah itu atau negasinya dapat dibuktikan. Menurut
Hilbert, sistem seperti itu ada, misalnya, orde pertama predikat kalkulus, tapi tidak ada yang
ditemukan mampu memungkinkan matematikawan untuk melakukan matematika yang
menarik.
Hilbert, D., 1972, menunjukkan bahwa itu Brouwer menyatakan bahwa pernyataan eksistensi
ada artinya dalam diri mereka kecuali mereka mengandung pembangunan objek menegaskan
ada, adalah scrip tidak berharga, dan penggunaannya menyebabkan matematika untuk
berubah menjadi sebuah permainan. Hilbert Brouwer mencatat urusan sehubungan dengan
celaan bahwa matematika akan berubah menjadi sebuah permainan dengan mengklaim
bahwa sumber teorema eksistensi murni adalah c-aksioma logis, di mana pada gilirannya
pembangunan dari semua proposisi yang ideal tergantung, ia berpendapat sejauh dari
permainan rumus dimungkinkan berhasil. Menurut Hilbert, permainan rumus memungkinkan
kita untuk mengungkapkan isi pikiran-seluruh ilmu matematika dengan cara yang seragam
dan mengembangkannya sedemikian rupa sehingga, pada saat yang sama, interkoneksi antara
proposisi individu dan fakta menjadi jelas; untuk membuatnya menjadi kebutuhan universal
yang himpunaniap rumus individu maka akan ditafsirkan dengan sendirinya tidak berarti wajar, sebaliknya, sebuah teori pada dasarnya adalah seperti yang kita tidak perlu untuk jatuh
kembali pada intuisi atau makna di tengah-tengah beberapa argumen.
Hilbert, D., 1972, menyatakan bahwa nilai bukti keberadaan murni justru terdiri bahwa
konstruksi individu dihilangkan oleh mereka dan bahwa konstruksi yang berbeda banyak
yang digolongkan di bawah satu ide fundamental, sehingga hanya apa yang penting untuk
membuktikan menonjol jelas ; singkatnya dan pemikiran ekonomi adalah raison d'etre dari
bukti keberadaan, ia kemudian diberitahu bahwa teorema eksistensi murni telah menjadi
landmark yang paling penting dalam sejarah perkembangan ilmu kita. Tapi pertimbangan
tersebut tidak merepotkan intuisionis yang taat. Menurut Hilbert, permainan formula yang
Brouwer begitu deprecates memiliki, selain nilai matematika, makna filosofis penting umum,
karena ini permainan formula dilakukan sesuai dengan aturan yang pasti tertentu, di mana
teknik pemikiran kita diungkapkan dan ini bentuk aturan sistem tertutup yang dapat
ditemukan dan dinyatakan secara definitif. Hilbert menegaskan bahwa ide dasar dari teori
bukti tidak lain adalah untuk menggambarkan aktivitas pemahaman kita, untuk membuat
sebuah protokol aturan yang menurut pemikiran kita benar-benar hasil; menurut dia berpikir,
begitu terjadi, sejajar berbicara dan menulis : kita bentuk pernyataan dan menempatkan
mereka satu di belakang lain. Dia berargumen bahwa jika ada totalitas pengamatan dan
fenomena layak untuk dijadikan obyek penelitian yang serius dan menyeluruh, inilah satu-
karena, himpunanelah semua, itu adalah bagian dari tugas ilmu pengetahuan untuk
membebaskan kita dari kesewenang-wenangan, sentimen, dan kebiasaan dan untuk
melindungi kita dari subjektivisme yang sudah dibuat sendiri merasa di Kronecker pandangan
dan, tampaknya dia, menemukan titik puncaknya dalam intuitionism.
Hilbert, D., 1972, bersikeras bahwa tantangan intuitionism yang paling tajam dan paling
bersemangat adalah satu itu teman kencan di validitas prinsip dikecualikan tengah, misalnya,
dalam kasus yang paling sederhana, pada validitas modus inferensi sesuai, yang , untuk
himpunaniap pernyataan yang berisi nomor-teori variabel, baik pernyataan tersebut benar
untuk semua nilai dari variabel atau terdapat nomor yang salah. Hilbert dirasakan bahwa
prinsip dikecualikan tengah merupakan konsekuensi logis dari c-aksioma dan tidak pernah
belum menyebabkan kesalahan sedikit pun, melainkan, apalagi, begitu jelas dan dipahami
bahwa penyalahgunaan yang menghalangi. Menurut Hilbert, khususnya, prinsip dikecualikan
tengah tidak disalahkan sedikit pun untuk terjadinya terkenal paradoks dari teori himpunan,
melainkan paradoks ini adalah karena hanya untuk pengenalan gagasan dapat diterima dan
tak berarti, yang secara otomatis dikeluarkan dari bukti teori saya. Hilbert menunjukkan
bahwa Adanya bukti dilakukan dengan bantuan prinsip dikecualikan tengah biasanya sangat
menarik karena singkatnya mengejutkan mereka dan keanggunan. Untuk Hilbert, mengambil
prinsip tengah dikeluarkan dari matematika akan sama, proscribing teleskop untuk astronomi
atau untuk petinju penggunaan tinjunya; untuk melarang pernyataan keberadaan dan prinsip
dikecualikan tengah sama saja dengan melepaskan ilmu matematika sama sekali.
Hilbert, D., 1972, bersikeras bahwa jika kesimpulan logis adalah dapat diandalkan, harus
dimungkinkan untuk survei obyek sepenuhnya dalam semua bagian mereka, dan fakta bahwa
mereka terjadi, bahwa mereka berbeda satu sama lain, dan bahwa mereka mengikuti himpunaniap lain, atau adalah concatenated, adalah langsung, diberikan secara intuitif,
bersama dengan objek, adalah sesuatu yang tidak dapat dikurangi untuk hal lain juga
memerlukan reduksi. Hilbert menyarankan bahwa dalam matematika kita
mempertimbangkan tanda-tanda konkret sendiri, yang bentuknya, menurut konsepsi kita telah
mengadopsi, segera, jelas dan dikenali, ini adalah sangat sedikit yang harus mensyaratkan,
tidak ada pemikir ilmiah dapat membuang itu, dan karenanya himpunaniap orang harus
mempertahankan itu, secara sadar, atau tidak.
Hilbert, D., 1972, mengakui bahwa sementara itu ada banyak kesalahan ditemukan dengan
mereka, dan keberatan dari semua jenis sarang dibesarkan menentangnya, dan dirasakan
bahwa semua kritikus ia dianggap hanya sebagai tidak adil karena dapat; ia mengklaim
bahwa itu adalah bukti konsistensi yang menentukan lingkup efektif teori bukti dan secara
umum merupakan inti; metode W. Ackermann memungkinkan perpanjangan diam. Dia
menyatakan bahwa untuk dasar-dasar pendekatan analisis biasa Ackermann telah
dikembangkan begitu jauh sehingga hanya tugas melaksanakan bukti murni matematis
finiteness tetap. Hilbert kemudian menyimpulkan bahwa hasil akhir adalah bahwa
matematika adalah ilmu pra-anggapan-kurang. Ia menegaskan bahwa untuk matematika
ditemukan dia tidak perlu Tuhan atau asumsi fakultas khusus pemahaman kita selaras dengan
prinsip induksi matematika Poincaré, atau intuisi primal Brouwer, atau, Russell dan aksioma
Whitehead tak terhingga, reducibility, atau kelengkapan, yang sebenarnya adalah yang
sebenarnya, menurut Hilbert, mereka contentual asumsi yang tidak dapat dikompensasikan
dengan bukti konsistensi.
Folkerts, M., 2004, merasa terpengaruh oleh program Hilbert, menyatakan bahwa
bagaimanapun, Formalisme tidak tidak akan berlangsung lama. Pada tahun 1931 ahli
matematika kelahiran Austria Amerika dan ahli logika Kurt Gödel menunjukkan bahwa tidak
ada sistem jenis Hilbert di mana bilangan bulat bisa didefinisikan dan yang konsisten dan
lengkap. Kemudian Gödel dan, mandiri, ahli matematika Inggris Alan Turing menunjukkan
decidability yang juga tak terjangkau. Disertasi Gödel terbukti kelengkapan orde pertama
logika, bukti ini dikenal sebagai Teorema Kelengkapan Gödel 's. Gödel juga membuktikan
bahwa Hilbert benar tentang asumsinya bahwa meta-matematika adalah bagian dari bagian
nyata dari matematika; ia menggunakan nomor teori sebagai contoh yang sepenuhnya beton
dan kemudian menunjukkan bagaimana menerjemahkan berbicara tentang simbol ke
berbicara tentang angka. Gödel ditugaskan kode untuk himpunaniap simbol sedemikian rupa
bahwa yang disebut Gödel-angka dikalikan bersama-sama mewakili formula, menetapkan
formula, dan hal lainnya dan kemudian seseorang dapat berbicara tentang Gödel-nomor
menggunakan nomor teori. Folkerts menunjukkan bahwa untuk membuat Gödel-nomor untuk
pernyataan dalam sistem formal, terlebih dahulu kita harus menetapkan himpunaniap simbol
bilangan bulat yang berbeda mulai dari satu, kemudian menetapkan himpunaniap posisi
dalam laporan bilangan prima berturut-turut yaitu mulai dengan 3. Folkerts mencatat bahwa
Gödel-nomor untuk pernyataan itu adalah produk dari bilangan prima dibawa ke kekuatan
nomor yang ditetapkan ke simbol dalam posisi pernyataan; sejak nomor dua bukan
merupakan faktor dari jumlah Gödel-untuk sebuah pernyataan, semua pernyataan 'Gödel-
angka akan aneh. Folkerts menunjukkan bahwa Gödel-nomor untuk urutan laporan dibangun dengan mengalikan bilangan prima keluar berturut-turut, dimulai dengan, nomor dua dibawa
ke kuasa nomor Gödel-pernyataan yang muncul pada posisi dalam daftar.
Folkerts, M., 2004, mencatat bahwa agar kita dapat memaknai teorema kita dapat menuliskan
daftar kalimat yang merupakan bukti tentang hal itu, sehingga Teorema Gödel 's-nomor
kalimat terakhir dalam bilangan genap Gödel dan ini mengurangi bukti theorems ke properti
nomor-teori yang melibatkan Gödel-angka dan konsistensi dapat ditampilkan melalui nomor
teori. Folkerts menunjukkan bahwa Gödel menunjukkan sesuatu yang bisa kita mewakili
dalam sistem formal dari sejumlah teori adalah finitary. Gödel menunjukkan bahwa
menurutnya jika S menjadi sistem formal untuk nomor teori dan jika S adalah konsisten,
maka ada kalimat, G, seperti bahwa baik G maupun negasi dari G adalah Teorema dari S, dan
dengan demikian, himpunaniap sistem formal memadai untuk menyatakan theorems dari
nomor teori harus lengkap. Gödel menunjukkan bahwa S dapat membuktikan P (n) hanya
dalam kasus n adalah Gödel-nomor yang Teorema dari S; maka di sana ada k, sehingga k
adalah Gödel-jumlah rumus P (k) = G dan pernyataan ini kata dari dirinya sendiri, tidak dapat
dibuktikan. Menurut Gödel, bahkan jika kita mendefinisikan sebuah sistem formal baru S = S
+ G, kita dapat menemukan G yang tidak dapat dibuktikan di S, dengan demikian, S dapat
membuktikan bahwa jika S adalah konsisten, maka G tidak dapat dibuktikan. Gödel
menjelaskan bahwa jika S dapat membuktikan cst (S), maka S dapat membuktikan G, tetapi
jika S adalah konsisten, tidak dapat membuktikan G, sehingga tidak dapat membuktikan
konsistensi. Dengan demikian, Program Hilbert tidak bekerja, satu tidak dapat membuktikan
konsistensi teori matematika. Namun, Folkerts menunjukkan bahwa Gentzen melihat
Teorema ketidaklengkapan Gödel dan bertanya-tanya mengapa sistem formal untuk
aritmatika sangat lemah bahwa itu tidak dapat membuktikan konsistensi sendiri. Menurut
Gentzen, penyempitan alami pada bukti adalah bahwa mereka adalah daftar terbatas laporan,
karena itu, Gentzen menawarkan teori aritmatika yang kemudian memungkinkan bukti
konsistensi dari sistem formal dari aritmatika; di mana ia memperkuat aksioma induksi
matematika , yang memungkinkan sebuah aksioma induksi kuat. Sementara induksi
tradisional mengasumsikan domain memiliki tipe ketertiban; Namun Gentzen
mengasumsikan bahwa domain memiliki jenis, agar lebih rumit lebih tinggi.
Di sisi lain, Folkerts menemukan bahwa Alan Turing mendefinisikan fungsi sebagai program
untuk untuk menghitung dengan mesin sederhana di mana fungsi ini sama dengan apa yang
Gödel pikirkan. Menurut Alan Turing, semua definisi dari fungsi yang berbeda dapat dihitung
dengancara membuat himpunan yang sama dengan fungsi yang ada. Fungsi dapat dihitung
karena yang paling banyak cara untuk program mesin Turing dan jumlah fungsi yang
mungkin dapat ditetapkan, sehingga fungsi dapat ditentukan secara teoritis sebagai sebuah
pengecualian. Alan Turing menunjukkan bahwa fungsi adalah relasi yang tak terhitung yang
menghasilkan output yang tergantung pada variabel acak.
Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa dalam hal paradoks Himpunan dari Russell, maka
penyelesaiannya dapat diturunkan dari himpunan yang bukan anggota sendiri. Podnieks, K.,
1992, menunjukkan bahwa teori tersebut sekarang sedang ditantang sebagai teori dasar
matematika dan teori kategori diusulkan sebagai pengganti, dalam teori kategori,
dikembangkan pengertian dasar fungsi dan operasi. Namun, Posy, dalam hal pertanyaan ontologis, bertanya-tanya seberapa akurat gagasan bahwa himpunan adalah objek dasar
matematika, sedangkan teori yang dihimpun terlalu kaya dan ada cara yang berbeda terlalu
banyak untuk membangun matematika. Posy berpendapat bahwa elemen dasar tidak boleh
sembarang dipilih, namun tidak menentukan pilihannya, dan menunjukkan bahwa, dalam
pandangan modern tentang strukturalisme, unit dasar adalah struktur, yang bukan benar-benar
objek. Folkerts, M, 2004, bersikeras bahwa program Hilbert masih memiliki pembagian
antara bagian real dan ideal matematika, ia khawatir tentang status ontologis dari objek di
bagian ideal matematika dan mereka hanya diciptakan untuk memberikan bagian yang ideal,
dan memberi kita jalan pintas, tetapi tidak pernah diyakini menjadi bagian dari realitas. , Dan
dia bertanya-tanya tentang sumber pengetahuan matematika dan kebenaran matematika yang
meliputi adanya objek yang ada, dan benda-benda yang tidak ada: dia juga peduli bahwa ini
memberi kita sebuah dunia dari obyek virtual, menyelesaikan dualisme objek Folkerts.
Namun, seperti Folkerts katakan, Paulus Benacerraf menjelaskan dilema ini dengan
memberikan pertanyaan-pertanyaan tentang teori standar kita tentang pengetahuan atau
kebenaran; menurut Benacerraf, ada semacam teori korespondensi antara pengetahuan kita
dengan benda-benda sehingga membangun kemampuan kognitif kita melalui indera kita, dan
kita membentuk kepercayaan melalui interaksi sebab-akibat antara objek yang kita pikirkan
dengan pikiran kita; di mana kaum formalis dan kaum Platonis mengalami kesulitan
melengkapi tentang hal ini.
Stefanik, R., 1994, bersikeras bahwa menurut Bernaceraf, ini menyebabkan strukturalisme
menganggap bahwa bilangan asli, adalah bentuk urutan, oleh karenanya, jika matematika
benar-benar abstrak, mengapa harus memiliki penerapan tertentu? Apakah hanya sebuah
"keajaiban" bahwa matematika berlaku untuk dunia fisik, atau, sebaliknya, kita cenderung
menekankan struktur matematika yang berhubungan dengan dunia? Hal ini dipersulit dengan
berbagai aplikasi baru untuk metode matematika, misalnya penerapan teori grup untuk
linguistik. Selanjutnya, Posy mencatat bahwa kaum strukturalis berpendapat bahwa
matematika bukanlah tentang beberapa himpunan tertentu dari objek abstrak melainkan
matematika adalah ilmu tentang pola struktur, dan benda-benda tertentu yang relevan dengan
matematika sejauh mereka memenuhi beberapa pola atau struktur. Posy bersikeras bahwa
berbagai versi strukturalisme telah diusulkan oleh matematikawan smisalnya Benacerraf,
Resnik, Shapiro, dan Hellman. Benacerraf, seperti yang menyatakan oleh Stefanik, R., 1994,
berpendapat untuk posisi strukturalis dengan terlebih dahulu menyajikan contoh di mana
kaum Logicist bersifat sangat militan, seperti Ernie dan Johnny, pertama belajar teori logika
dan himpuna dan bukan belajar teori bilangan. Benacerraf mengatakan:
Ketika datang untuk belajar tentang angka, mereka hanya belajar nama-nama baru untuk
himpunan dan anggotanya. Mereka menghitung anggota dari suatu himpunan dengan
menentukan kardinalitas dari himpunan, dan mereka menetapkan ini dengan menunjukkan
bahwa terdapat hubungan khusus antara himpunan dan angka.
Stefanik, R., 1994, menunjukkan bahwa Benacerraf berpendapat bahwa keyakinan Frege
berasal dari ketidakkonsistenannya, karena semua benda alam semesta adalah himpunan.
Pertanyaan apakah dua nama memiliki referen yang sama selalu memiliki nilai kebenaran?,
Namun, kondisi membuat identitas hanya dalam konteks di mana terdapat kondisi yang unik. Benacerraf menyatakan bahwa jika sebuah kalimat "x = y" adalah Benar, hal ini dapat terjadi
hanya dalam konteks di mana jelas bahwa kedua x dan y adalah Benar. Stefanik bersikeras
bahwa pencarian untuk objek dasar alam semesta yang matematis, adalah usaha yang keliru
yang mendasari teori kaum Absolutist dan pengikut filsafat platonis. Ia mencatat bahwa hal
ini tidak menggoyahkan pendirian Benacerraf; karena menurut Stefanik, Benacerraf masih
menegaskan logika yang kemudian dapat dilihat sebagai logika yang paling umum dari
disiplin ilmu, yang berlaku dengan cara yang sama untuk dan dalam teori yang diberikan.
Thompson, P., 1993, menyatakan bahwa para filsuf matematika memiliki, selama ribuan
tahun, berulang kali keterlibatan dalam perdebatan tentang paradoks dan kesulitan mereka
dalam melihat fenomena yang muncul dari tengah-tengah keyakinan mereka yang kuat dan
intuitif. Dari munculnya Geometri non-Euclidean, analisis teori kontinum, dan penemuan
Cantor tentang bilangan transfinite, sistem Frege, matematikawan kemudian menyuarakan
keprihatinan mereka bagaimana kita secara serampangan telah memikirkan sesuatu yang
asing, dan dengan liar memperpanjang persoalan matematika kita dengan intuisi, atau kalau
tidak kita telah menjadi rentan terhadap perangkap yang tak terduga dan sampai sekarang,
dengan apa yang disebut kontradiksi. Thompson menunjukkan bahwa di jantung perdebatan
ini terletak tugas mengisolasi intuisi macam apa, dan memutuskan kapan kita harus sangat
berhati-hati bagaimana menerapkannya, namun, mereka yang mencari kepuasan dasar
epistemologis tentang peran intuisi dalam matematika sering dihadapkan dengan pilihan yang
tidak menarik, antara metafisika yang berasal dari Brouwer, dan pengakuan mistis Gödel dan
Platonis bahwa kita secara intuitif dapat membedakan ranah kebenaran matematika. Hal ini
menunjukkan bahwa, dalam hal dasar, matematika dianggap sebagai ilmu logis, bersih
terstruktur, dan cukup beralasan atau singkatnya dalam matematika adalah ilmu logis yang
sangat terstruktur, namun jika kita menggali cukup dalam dan dalam penyelidikan yang
mendalam, kita masih menemukan beberapa hal yang menjadi perdebatan filsafat. Ini adalah
kenyataan bahwa, dalam hal sejarah matematika, berbagai macam sejarah matematika yang
datang, dimulai di Yunani kuno, berjalan melalui pergolakan menuju masa depan yang
keluar, sedangkan dalam hal sistem pondasi logis matematika, metode matematika adalah
deduktif, dan oleh karena itu logika memiliki peran mendasar dalam pengembangan
matematika.
Beberapa masalah masih muncul: dalam hal makna, kita bertanya-tanya tentang penggunaan
bahasa khusus untuk berbicara tentang matematika, apakah bahasa matematika merupakan
hal-hal aneh dan muncul dari dunia ini dan apa artinya semua ini, dan kemudian, apakah arti
hakikinya? kita mungkin bertanya-tanya apakah matematikawan berbicara tentang hal yang
aneh, apakah mereka benar-benar ada, dan bagaimana mereka dapat kita katakan atau apakah
yang dikatakannya penting?. Secara epistemologis, matematika telah sering disajikan sebagai
paradigma ketepatan dan kepastian, tetapi beberapa penulis telah menyarankan bahwa ini
adalah ilusi belaka. Bagaimana kita bisa mengetahui kebenaran dari proposisi matematika,
dan dalam hal aplikasi, bagaimana pengetahuan matematika yang abstrak dapat diterapkan di
dalam dunia nyata? Apa implikasi untuk matematika dari adanya revolusi informasi;? Dan
apa yang bisa matematika kontribusikan?. Thompson, P., 1993, bersikeras bahwa analisis
yang menggabungkan kepastian, kognitif psikologis dari "intuisi" yang fundamental terhadap dugaan dan penemuan dalam matematika, dengan kepastian epistemis dari peran intuitif
proposisi matematika harus bermain dalam pembenaran mereka . Dia menambahkan bahwa
sejauh mana dugaan intuitif kita terbatas baik oleh sifat rasa pengalaman kita, dan dengan
kemampuan kita untuk melakukan konseptualisasi.
Litlangs 2004, menyitir ketidaksetujuan Aristoteles terhadap Plato; menurut Aristoteles,
bentuk fisik tidaklah jauh berbeda dengan penampilannya tetapi sesuatu yang konkrit sajalah
yang menjadi benda-benda dunia. Aristoteles menyatakan bahwa ketika kita mendapatkan
sesuatu yang abstrak, bukan berarti bahwa abstraksi merupakan sesuatu yang jauh dan abadi.
Bagi Aristoteles, matematika adalah hanya penalaran tentang idealisasi, dan ia melihat dekat
pada struktur matematika, membedakan logika, prinsip yang digunakan untuk menunjukkan
teorema, definisi dan hipotesis. Plato juga tercermin pada tak terhingga, memahami
perbedaan antara potensi tak terbatas misalnya menambahkan satu ke bilangan infinit
misalnya tak terbatas. Bold, T., 2004, menyatakan bahwa kedua intuisionis dan formalis
meyakinkan bahwa matematika hanyalah penemuan dan mereka melakukannya dengan tidak
menginformasikan kepada kami dengan apa-apa tentang dunia; keduanya mengambil
pendekatan ini untuk menjelaskan kepastian mutlak matematika dan menolak penggunaan
bilangan infinit. Bold mencatat bahwa intuitionists mengakui hal ini kesamaannya dengan
formalis dan menganggap perbedaan yang ada sebagai perbedaan pendapat di mana ketepatan
matematis memang ada; intuisionis mengatakannya sebagai kecerdasan manusia dan formalis
mengatakannya sebagai hanya coretan di atas kertas. Menurut Arend Heyting, matematika
adalah produksi dari pikiran manusia; ia mengklaim intuitionism yang mengklaim proposisi
matematika mewarisi kepastian mereka dari pengetahuan manusia yang didasarkan pada
pengalaman empiris. Bold menyatakan bahwa sejak, infinity tidak bisa dipakai, intuisionis
menolak untuk mendorong penerapan matematika di luar infinisitas; Heyting menyatakan
adanya keyakinan terhadap transendental, yang tidak didukung oleh konsep, dan harus
ditolak sebagai alat bukti matematika. Demikian pula, Bold menemukan bahwa Hilbert
menulis bahwa untuk kesimpulan logis yang dapat diandalkan itu harus memungkinkan
untuk untuk dilakukannya survei terhadap kebenaran obyek dan bagian-bagiannya, karena
tidaklah ada survei untuk infinity yang dapat disimpulkan dengan hanya mengandalkan pada
sistem yang terbatas. Menurut formalis, seluruh matematika hanya terdiri dari aturan
sembarang seperti yang catur.
Di sisi lain, Posy, C., 1992, menemukan bahwa Hilbert benar-benar menempatkan struktur
pada bagian intuitif matematika, pada dasarnya bahwa pemikiran finitary dan sistem formal;
dengan pekerjaan Gödel 's. Thompson, P., 1993, berpendapat bahwa Gödelian Platonisme,
khususnya, yang memimpin pengalaman aktual melakukan matematika, dan bilangan Gödel
untuk kejelasan dari himpunan-aksioma dasar teoritis dengan mengajukan suatu kemampuan
intuisi matematika, analog dengan persepsi indrawi dalam fisika, sehingga, mungkin,
aksioma 'dipaksakan kepada kita' sebanyak asumsi kekuatan 'diantara obyek fisik' sendiri
kepada kita sebagai penjelasan dari pengalaman fisik kita. Namun, Thompson sebaliknya
menyatakan bahwa telah mengakui peran keragu-raguan dalam penggunaan bahasa yang bila
diterapkan pada prinsip matematika menjadi aneh tapi nyata; berlawanan dengan apa-apa
yang terdapat pada kontinum dari intuitif palsu dan mencegah intuitif yang benar benar, tergantung pada kekuatan dugaan kita akan lebih cenderung untuk membuat menentangnya,
jika kita tidak melihatnya, dan telah dimenangkan oleh, buktinya, dan memang, untuk
mengejutkan kita, kita sering menemukan, pada saat kita menjumpai paradoks, bagaimana
intuisi kita lemah dan tak berdaya. Thompson menyatakan bahwa gagasan tentang intuisi kita
yang harus baik, tegas dan benar, berasal teori yang menyatakan bahwa kemampuan indera
merupakan kemampuan primitif yang diwariskan dari gaya filsafat Rene Descartes yang
mencari kebenaran absolut tentang segala sesuai yang tidak tergoyahkan, yang telah menolak
semua pembenaran lainnya kecuali kebenaran diriyang menemukan bahwa dirinya yang ada
adalah dirinya yang sedang memikirkannya.
Di sisi lain, Posy, C., 1992, bersikeras bahwa sistem formal Hilbert sesuai dengan teori fungsi
rekursif. Posy bersikeras bahwa Brouwer itu sangat menentang ide-ide ini, terutama sistem
yang berpondasi, ia bahkan menentang formalisasi logika; Brouwer memiliki pandangan
yang sangat radikal tentang matematika dan hubungannya dengan bahasa. Menurut Brouwer,
dalam bahasa, kita dapat berkomunikasi output dari konstruksi matematika, sehingga
membantu orang lain menciptakan pengalaman matematika, namun bukti itu sendiri adalah
pra-linguistik, aktivitas murni sadar yang jauh lebih fleksibel daripada bahasa. Brouwer
berpikir bahwa sistem formal tidak pernah bisa cukup untuk menutup semua pilihan yang
tersedia untuk matematika secara kreatif, dan berpikir bahwa formalisme tidak ada gunanya.
Posy mencatat bahwa, khususnya, Brouwer berpikir bahwa hal demikian bukanlah suatu
kegilaan untuk berpikir bahwa logika digunakan untuk menangkap aturan untuk berpikir
matematis secara benar. Brouwer menunjukkan aturan tertentu bahwa logika tidak memadai
untuk mengembangkan metode berpikir dengan menunjuk hukum tengah yang dikecualikan.
Thompson, P., 1993, mencatat bahwa pandangan Brouwer tersebut dikarenakan
kepercayaannya bahwa penerapan logika tradisional ke matematika merupakan fenomena
sejarah, ia selanjutnya menyatakan bahwa oleh fakta bahwa, pertama, logika klasik disarikan
dari matematika yang merupakan himpunan dari himpunan maka pastilah terbatas, kedua,
bahwa eksistensi apriori independen dari matematika dianggap berasal dari logika ini, dan
akhirnya, atas dasar bahwa keyakinan apriori, maka logika tidak dibenarkan diterapkan pada
matematika. Selanjutnya, Posy, C., 1992, menambahkan bahwa Brouwer bersikeras tentang
hipotesisnya mengapa filsuf dan ahli matematika perlu mengecualikan hukum tengah;
menurut Brouwer, logika telah dikodifikasikan ketika komunitas ilmiah hanya peduli dengan
benda-benda terbatas. Brouwer mengatakan bahwa, mengingat hanya benda terbatas, hukum
maka hukum tengah perlu dikecualikan, namun kesalahan itu dibuat saat matematika pindah
ke infinitary di mana aturan-aturan kaku logika dipertahankan tanpa pertanyaan. Brouwer
menyatakan bahwa tidak ada kodifikasi kaku harus datang sebelum pengembangan
matematika. Posy menemukan bahwa perbedaan utama antara Brouwer dan Hilbert adalah
bahwa mereka tidak setuju pada posisi logika di mana Hilbert pikir logika adalah ilmu
pengetahuan, jadi yang otonom dapat secara bebas diterapkan pada matematika lain,
sedangkan Brouwer berpendapat tidak demikian.
Litlangs, 2004, menyatakan bahwa pertanyaan-pertanyaan mendalam tentang bagaimana
variasi kecerdasan menghadapi kesulitan dalam menjelaskan matematika secara internal yaitu
kesenjangan mereka, kontradiksi dan ambiguitas yang terletak di bawah sebagian tertentu dari prosedur, mengarah pada kesimpulan kasar bahwa matematika mungkin tidak lebih logis
dari puisi, melainkan hanya kreasi bebas dari pikiran manusia yang tidak bertang-gungjawab
untuk memaknai diri kita dan alam. Litlangs menyatakan bahwa meskipun matematika
mungkin tampak sebagai jenis pengetahuan yang paling jelas dan tertentu dari pengetahuan
yang kita miliki, ada masalah cukup serius yang terdapat di setiap cabang lain dari filsafat
tentang hakekat matematika dan makna proposisi tersebut. Litlangs menemukan bahwa Plato
percaya dalam bentuk atau ide yang kekal, mampu mendefinisikan dengan tepat dan bebas
dari persepsi; antara entitas dan objek geometri seperti garis, titik, lingkaran, yang karena itu
tidak ditangkap dengan indra tetapi dengan logika, ia berhubungan dengan obyek-obyek
matematika dengan contoh-contoh spesifik dari bentuk ideal. Menurut Plato, seperti yang
dicatat oleh Litlangs, proposisi matematika yang sejati dari hubungan antara obyek tak
berubah, mereka pasti benar yang menemukan matematika yang sudah ada sebagai kebenaran
"di luar sana" daripada menciptakan sesuatu dari mental kita sebagai kecenderungan, dan
sebagai objek yang dirasakan oleh indera kita, mereka hanya merupakan contoh dan cepat
berlalu dari ingatan kita.
Sementara itu, Litlangs 2004, menambahkanbahwa bahwa Leibniz menganggap bahwa
logika berjalan bersamaan dengan matematika, sedangkan Aristoteles menggunakan
proposisi dari bentuk predikat, yaitu subjek dari logika, Leibniz berpendapat bahwa subjek
berisi predikat yang adalah sifat yang tak terbatas yang diberikan oleh Tuhan. Menurut
Leibniz, proposisi matematika tidaklah benar jika mereka berurusan dengan entitas kekal atau
ideal, tetapi karena penolakan mereka secara logika tidak mungkin, maka proposisi
matematika adalah benar tidak hanya untuk dunia ini, tetapi juga untuk semua kemungkinan
yang ada. Litlangs menyatakan bahwa tidak seperti Plato, yang menanyakan untuk apalah
sebuah bentuk fisik itu, sementara Leibniz melihat pentingnya notasi, sebagai sebuah
simbolisme perhitungan, dan menjadi permulaan dari metode untuk membentuk dan
mengatur karakter dan tanda-tanda untuk mewakili hubungan antara pikiran matematika.
Litlangs 2004, mengungkapkan lebih lanjut bahwa Immanuel Kant menganggap entitas
matematika sebagai proposisi sintetik apriori-, yang tentu saja memberikan kondisi yang
diperlukan untuk pengalaman objektif; matriks ruang dan waktu, dan wadah memegang
bahan pengubah persepsi. Menurut Kant, matematika adalah gambaran ruang dan waktu, jika
terbatas pada pikiran, konsep-konsep matematika diperlukan hanya konsistensi diri, tapi
pembangunan konsep-konsep tersebut melibatkan ruang yang memiliki struktur tertentu,
yang oleh Kant digambarkan pada geometri Euclidean. Litlangs mencatat bahwa bagi Kant,
perbedaan antara "dua" yang abstrak "dua piring" adalah tentang konstruksi logika ditambah
masalah empiris. Dalam analisisnya tentang infinitas, Kant menerima pembedaan Aristoteles
antara potensi tak terbatas dan potensi lengkap, tapi tidak menganggap keduanya adalah
mustahil. Kant merasa bahwa tak terhingga lengkap adalah gambaran tentang alasan, secara
internal konsisten, meskipun tentu saja tidak pernah ditemui di dunia persepsi kita. Litlangs
lebih lanjut menegaskan bahwa Frege dan Russell dan pengikut mereka mengembangkan
gagasan Leibniz bahwa matematika adalah sesuatu yang secara logis tak terbantahkan;
Hukum Frege menggunakan logika ditambah definisi, dan merumuskan notasi simbolis untuk
alasan yang diperlukan. Namun, melalui rantai panjang penalaran, simbol-simbol ini menjadi kurang jelas, dan merupakan transisi yang dimediasi oleh definisi. Litlangs mencatat bahwa
Russell melihat mereka sebagai kemudahan notasi, langkah hanya dalam argumen, sedangkan
Frege melihat mereka sebagai menyiratkan sesuatu yang layak dari pemikiran yang cermat,
sering menyajikan konsep-konsep matematika penting dari sudut yang baru. Litlangs
menemukan bahwa sementara dalam kasus Russell definisi tidak memiliki eksistensi objektif,
dalam kasus Frege masalah ini tidak begitu jelas bahwa adalah definisi adalah objek logis
yang mengklaim keberadaan sama dengan entitas matematika lainnya. Litlangs
menyimpulkan bahwa, meskipun demikian, Russell menyelesaikan banyak paradoks untuk
membuat siatem Whitehead sebagai deskripsi yang monumental dari Principia Mathematica.
Sementara itu, Thompson, P., 1993, yang merasa terpengaruh gerakan kritis dari Cauchy dan
Weierstrass telah menjadi hati-hati tentang penggunaan matematika yang tak terbatas, kecuali
sebagai Facon de Parler dalam menyimpulkan teori atau mengambil batas, di mana
matematika benar-benar dianggap berfungsi sebagai metafora, atau kiasan, untuk menyatakan
keadaan secara terbatas. Thompson ingin membandingkan antara penyanyi dengan kerja
seorang matematikawan Leopod Kronecker. Matematikawan Jerman Leopold Kronecker,
yang sudah memiliki pengetahuan matematika kemudian berkehendak untuk menulis ulang
teori algebraic, dan bertujuan untuk menjatuhkan keyakinan Cantor itu, tentang logika yang
selama ini dia yakini tentang penyelesaian tak terbatas yang sempurna signifikan. Menurut
Thompson, penyanyi telah mendesak lebih lanjut bahwa kita harus sepenuhnya siap untuk
menggunakan kata-kata yang akrab dan lazim dalam konteks yang sama sekali baru, atau
dengan mengacu pada situasi yang sebelumnya dengan tidak mempertimbangkannya terlebih
dulu; bahwa penyanyi telah dengan membabi buta membuat skema terbatas dalam domain
tak terbatas, baik dengan cara menghubungkan kardinal atau kuantitas dalam himpunan
terbatas atau tak terbatas. Thompson bersikeras bahwa meskipun dia mengakui kerja
matematika menggunakan intuisi, tetapi adalah penting untuk membuat pendekatan
pendekatan heuristik.
Thompson, P., 1993, menjelaskan bahwa Gödel berpendirian bahwa intuisi kita dapat
digunakan untuk bekerja dalam domain yang sangat aksiomatis, seperti perpanjangan ZF,
atau kalkulus, sehingga memungkinkan kita untuk membuat pertimbanganyang baik untuk
menerima atau menolak hipotesis secara independen dari pra-teori atau praduga tentang teori.
Thompson menunjukkan bahwa Gödel dan Herbrand, secara bersama-sama membuat klaim
tentang demarkasi batas-batas kemampuan intuisi. Thompson menyimpulkan bahwa Gödel,
dengan kemampuannya dalam logika transendental, senang berpikir bahwa logika kita hanya
sedikit tidak fokus, dan berharap bahwa terdapat kesalahan kecil sehingga masih mampu
melihat secara tajam dan mampu berpikir matematika secara benar. Namun untuk hal ini, dia
berbeda pandangan dengan Zermelo dan Hilbert. Thompson menyatakan bahwa Hilbert tidak
akan dapat meyakinkan kita bahwa matematika itu bersifat konsistensi untuk selamanya,
karena itu kita harus puas jika sistem aksiomatis matematika seperti yang dibuat Hilbert
dianggap konsisten, jika kita tidak mampu membuktikannya.
Sementara itu, Turan, H., 2004, menjelaskan bahwa Descartes membawa proposisi
matematika ke dalam keraguan saat ia meragukan semua keyakinan tentang hakekat akal
sehat dengan mengasumsikan bahwa semua keyakinan berasal dari persepsi tampaknya hanya sampai pada anggapan awal bahwa masalah yang dihadapinya sebetulnya adalah suatu
keraguan tentang matematika, yaitu sebuah contoh dari masalah keraguan tentang keberadaan
zat. Turan berpendapat bahwa masalahnya bukan apakah kita menghitung objek atau gambar
yang sebenarnya kosong tapi apakah kita menghitung apa yang kita menghitung dengan
benar, ia berpendapat bahwa karya Descartes adalah mungkin untuk mengekspos bahwa
proposisi '2 +3 = 5 'dan argumen' Saya berpikir, maka saya ada, "sama-sama jelas. Menurut
Turan, Descartes tidak menemukan epistemologinya pada bukti proposisi matematika, dan
percobaan keraguan tampaknya tidak memberikan hasil positif untuk operasi matematika.
Menurut Turan, kesadaran melaksanakan proposisi matematika yang tidak boleh untuk
meragukannya, dan kesadaran melakukan operasi matematika atau logika adalah contoh dari
"saya berpikir" dan karenanya argumen "Saya menghitung, karena itu aku ada 'setara dengan'
Saya pikir , maka saya ada '. Turan menunjukkan bahwa jika kita berpendirian bahwa
proposisi matematika tidak bisa menimbulkan kesulitan bagi epistemologi Descartes yang
menurutnya untuk membangun pada kesadaran berpikir sendiri, maka dia tidak dapat dilihat
untuk menghindari pertanyaan. Turan menyimpulkan bahwa proposisi matematika dengan
sendirinya tidak bermanfaat jika mereka tidak boleh diragukan. Jika semua proposisi
matematika kemudian dapat diragukan oleh Rene Descartes, maka seluruh logika umum
tentunya juga akan diragukannya. Maka Rene Descartes kemudian menemukan bahwa hanya
terdapat satu saja hal yang tidak dapat diragukan yaitu kenyataan bahwa dirinya itulah yang
sedang meragukan. Oleh karena itu dia menyimulkan bahwa dia ada karena berhasil
meragukannya. Atau cogito ergosum, saya berpikir maka saya ada. Tetapi kemudian Rene
Descartes menemukan kenyataan bahwa dia tidak mampu menjawab semua keraguan
tersebut, maka dia menemukan bahwa manusia, termasuk dia, adalah terbatas. Kemudian dia
menyimpulkan pastilah ada yang tak terbatas, yaitu diri Tuhan YME.
Turan, H., 2004, bersikeras bahwa hubungan antara persepsi dan matematika dapat disangkal,
bagaimanapun membatasi pikiran kita dengan konteks dimana pengandaian ontologis
filosofis untuk refleksi pada persepsi dipertaruhkan; menurut dia, kita harus mencatat
pentingnya persepsi terhadap sifat eksistensi yang Descartes menganggap terutama untuk
tujuan epistemologis. Turan mencatat bahwa Descartes tampaknya meninggalkan argumen
bahwa Tuhan menipu untuk asumsi himpunan dan ini hipotesis terakhir tampaknya untuk
memanggil ke dalam keraguan eksklusif keyakinan terkait dengan keberadaan dunia luar,
karena itu, adalah mungkin untuk menyatakan bahwa Descartes menyerah dalam mengejar
pertanyaan tentang kebenaran penilaian matematika, dan Descartes tampaknya memberkati
adanya si jenius jahat yang semata-mata dengan kekuatannys menipu pikirannya dalam hal
yang berkaitan dengan penilaian pada keberadaan hal-hal eksternal. Turan menemukan
bahwa Descartes selalu menganggap demonstrasi matematika antara kebenaran yang paling
jelas bahwa pikiran manusia dapat mencapai, dan menyebut mereka sebagai contoh benda
yang dapat berintuisi jelas dan jelas; Descartes merasa bahwa aritmatika dan geometri bebas
dari segala noda kepalsuan atau ketidakpastian. Menurut Descartes, matematika yang
bersangkutan dengan obyek begitu murni dan sederhana bahwa mereka tidak membuat
asumsi bahwa pengalaman mungkin membuat tidak pasti, melainkan terdiri dalam
menyimpulkan kesimpulan melalui argumen rasional. Selanjutnya, Turan, H., 2004, bersikeras bahwa Descartes memakai eksistensi eksternal suatu
obyek, untuk melakukan kegiatan deduksi dan intuisi sebagai metode yang sah untuk
memperoleh pengetahuan. Bagi Descartes, intuisi adalah konsepsi pasti yang sederhana dari
pikiran yang jernih dan penuh perhatian yang berlangsung semata-mata dari cahaya argumen
dan pada kepercayaan lebih pasti dari deduksi, tapi pemikiran yang tidak epistemologis akan
kalah dengan intuisi manusia yang penuh perhatian. Descartes mengklaim bahwa meskipun
matematika secara ekstensif menggunakan metode deduksi, namun dia mengatakan bahwa
deduksi adalah metode tunggal yang sah dan memegang intuisi yang sangat diperlukan
sebagai alat untuk memperoleh pengetahuan matematika, dan proposisi matematika memiliki
tingkat yang sama dengan kepastian sebagai argumen cogito ontologis yang pasti. Bagi
Descartes matematika adalah invariabel sehubungan dengan pengandaian ontologis, tapi
begitu dibawa ke dalam konteks percobaan keraguan terlihat bahwa itu mengandung
implikasi ontologis penting yang tampak sebagai objek matematika dan operasi
mengandaikan eksistensi. Lalu Descartes menyatakan bahwa:
Saya merasa bahwa saya sekarang ada, dan ingat bahwa saya telah ada selama beberapa
waktu, apalagi, saya memiliki pikiran berbagai yang saya bisa menghitung, melainkan dalam
cara-cara yang saya mendapatkan ide-ide dari durasi dan jumlah yang saya kemudian dapat
ditransfer ke lain hal. Adapun semua elemen lain yang membentuk ide-ide dari hal-hal
jasmani, yaitu perluasan, bentuk, posisi dan gerakan, ini tidak secara resmi terdapat dalam
saya, karena saya hanyalah menjadi pemikiran, tetapi karena mereka hanya mode suatu zat
dan saya substansi, tampaknya mungkin bahwa mereka yang terkandung dalam diriku nyata.
Selanjutnya, Turan, H., 2004, menegaskan bahwa ketergantungan fungsional dan ontologis
jumlah dan universal lain, membuat cogito di mana sebuah contoh pemikiran di mana kedua
bukti dan kepastian ontologis dapat dicapai dalam satu langkah; epistemologis sebelum
proposisi matematika yang mungkin , itu dianggap terpisah dari konteks percobaan keraguan
dan terlihat untuk mewujudkan bukti. Menurut Turan, "saya menghitung, karena itu aku
'adalah epistemologis setara dengan' Saya berpikir, maka saya '; kedua argumen kebal untuk
diragukan, namun si jenius jahat memang bisa membuat saya salah karena saya menghitung
pikiran saya atau penampilan, tetapi tidak bisa menipu saya dalam kesimpulan saya menarik
adanya fakta bahwa saya menghitung sudah cukup untuk membuktikan bahwa aku ada
terlepas dari apakah saya menghitung atau menambahkan atau melakukan operasi
matematika secara keliru. Turan menyimpulkan bahwa situasi ontologis didirikan oleh
eksperimen keraguan Cartesian telah membawa kendala epistemologis yang serius;
eksperimen menemukan bahwa sarana epistemologis memungkinkan kita untuk
mempekerjakan untuk pindah secara ontologis lebih lanjut, tentulah harus menjadi salah satu
sumber daya yang tepat dari situasi ontologis yang telah membatasi dirinya untuk tujuan
epistemologis, dalam kata lain, standar epistemologis eksperimen harus sesuai dengan yang
ditentukan oleh pengaturan ontologis percobaan keraguan. Turan mencatat bahwa eksperimen
menemukan nya sendiri dengan hal-hal yang bisa kita sebut persepsi atau pikiran, di sebuah
sudut pandang dari mana dia membuktikan kejadian persepsi dan pikiran dan tidak bisa tahu
dengan baik bagaimana mereka dibeli, sedangkan Descartes karena itu bisa tergantung hanya
pada berpikir bahwa ia memiliki persepsi atau pikiran dalam penyelidikan epistemologis untuk mendirikan sebuah kepastian yang tidak dapat dipengaruhi oleh argumen dari
percobaan keraguan.
Podnieks, K., 1992, menguraikan bahwa sebelum Kant, matematika dipandang sebagai dunia
empiris, tetapi khusus dalam satu cara penting yang sifat yang diperlukan dunia ditemukan
melalui bukti matematika, namun untuk membuktikan sesuatu yang salah, seseorang harus
menunjukkan hanya bahwa dunia mungkin berbeda. Dalam hal masalah epistemologis, Posy
diberitahu bahwa ilmu pada dasarnya merupakan generalisasi dari pengalaman, tetapi hal ini
dapat memberikan hanya pilihan saja, sifat yang mungkin dari dunia yang itu bisa saja
sebaliknya. Di sisi lain, ilmu pengetahuan hanya memprediksi bahwa masa depan akan
mencerminkan masa lalu, sedangkan matematika adalah tentang dunia empiris, tetapi
biasanya metode untuk pengetahuan berasal dari pengetahuan kontingen, bukan keharusan
bahwa matematika murni memberi kita, dalam jumlah, Posy menyimpulkan bahwa Kant
ingin pengetahuan yang diperlukan dengan pengetahuan empiris. Posy kemudian
menguraikan langkah yang dilakukan oleh Kant dalam memecahkan masalah dalam beberapa
langkah: pertama, bahwa obyek dalam dunia empiris merupakan penampakan atau fenomena
di mana, secara alami, mereka hanya memiliki sifat bahwa kita mengenal mereka dari
pengalaman, mereka bukanlah hal dalam diri mereka. Posy menemukan bahwa Kant
mengatakan kita harus menjadi seorang idealis di mana sifat dari obyek adalah hanya apa
yang dipahami, tidak ada sifat obyek yang berada diluar pengalaman kita. Kedua, Kant
menyarankan untuk membangun ke dalam pikiran kita dua bentuk intuisi dan persepsi
sehingga setiap persepsi yang kita miliki adalah terbentuk oleh bentuk Ruang dan Waktu,
menurut Kant,ini, sebenarnya, bagian dari pikiran, dan bukan sesuatu pikiran mengambil dari
pengalaman; dan dengan demikian, objek empiris selalu bersifat spasio-temporal.
Selanjutnya, Posy, C., 1992, menunjukkan bahwa, menurut Kant, kita mengenal sifat spasio-
temporal dengan cara a priori, dan dalam mempelajari sifat spasio-temporal, kita hanya
mempelajari diri kita sendiri, dan kemampuan persepsi kita. Menurut Kant, matematika
hanyalah ilmu yang mempelajari sifat spasio-temporal dari objek dengan mempelajari sifat
ruang dan waktu; dan dengan demikian, matematika adalah belajar dari bentuk abstrak
persepsi. Dalam hal ide ke takhinggan maka hukum-hukumnya tidak tunduk pada persepsi,
Kant, seperti yang ditunjukkan oleh Posy, membuat perbedaan antara intuisi empiris yaitu
intuisi dari indera yang selalu terbatas dan intuisi murni. Posy menunjukkan bahwa studi
tentang kemungkinan intuisi empiris di mana batas yang terbatas tidak diperkenalkan di
kedua arah, dan matematika tidak menangani hal ini. Menurut Kant matematika
memungkinkan membagi interval kecil dan perluasan interval besar, ini berarti kita bisa
mendiskusikan jumlah yang lebih kecil dan lebih kecil tanpa memperkenalkan jumlah
terkecil misalnya jika kita ingin membuktikan interval ini dibagi, kita dapat melakukan ini
dengan memilih interval; menunjukkan itu habis dibagi, dan abstrak dari ukuran sebenarnya,
dan biarkan mewakili gagasan interval dipahami.
Kant menyatakan bahwa matematika murni, sebagai kognisi a priori, hanya mungkin dengan
mengacu pada benda selain yang diindra, di mana, di dasar intuisi empiris mereka terletak
sebuah intuisi murni (ruang dan waktu) yang a priori. Kant mengklaim bahwa ini mungkin, karena intuisinya yang terakhir tidak lain adalah bentuk sensibilitas belaka, yang mendahului
penampilan yang sebenarnya dari objek, dalam hal ini, pada kenyataannya, membuat mereka
mungkin; namun ini merupakan kemampuan berintuisi a priori yang mampu memahami
fenomena non fisik. Kant menggambarkan bahwa dalam prosedur biasa kita memerlukan
pengetahuan geometri, bahwa semua bukti tentang similaritas dari dua benda yang diberikan
akhirnya akhirnya diperoleh; yang ternyata tidak lain bahwa bukti itu sampai pada intuisi
langsung, dan intuisi ini harus murni, dan bersifat a priori. Jika proposisi tidak mempunyai
kebenaran matematika yang tinggi, maka hal tersebut tidak dapat disimpulkan dari hanya
memperoleh kepastian empiris saja. Kant lebih jauh menyatakan bahwa di mana-mana ruang
memiliki tiga dimensi, dan pada suatu ruang berlaku dalil bahwa tidak lebih dari tiga garis
lurus dapat memotong pada sudut yang tepat di satu titik.
